Следует помнить, что если в разветвлѐнной цепи число узлов n, то независимых уравнений по первому правилу можно написать для (n – 1) узлов. При применении второго правила каждый следующий контур надо выбирать так, чтобы он содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в ранее рассмотренные контуры. Таким образом, используя формулы (3.145) и (3.146), получаем систему уравнений, которую и следует решить для нахождения неизвестных по условию задачи параметров разветвлѐнной цепи.

3.11 Классическая электронная теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах, как было экспериментально установлено, являются электроны. Исходя из представлений о наличии в металлах свободных электронов, Друде и Лоренц создали классическую электронную теорию проводимости металлов.

Существование в металлах свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решѐтки в результате сближения атомов и взаимодействия между ними, сравнительно слабо связанные с ядром валентные электроны отрываются от атомов металла, становятся свободными и могут перемещаться по всему объѐму металла. Таким образом, в узлах кристаллической решѐтки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны. В классической электронной теории Друде – Лоренца электроны проводимости ведут себя подобно молекулам идеального газа, правда, в отличие от молекул идеального газа, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами кристаллической решѐтки. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решѐткой, и, следовательно, электронный газ имеет такую же температуру, как и весь металл. Распространяя на электронный газ результаты кинетической теории газов, среднюю скорость теплового движения электронов можно оценить по формуле:

где me 9,1 10 31 кг — масса электрона. Для комнатной температуры

(Т ~ 300 К) вычисление по формуле (3.147) даѐт значение 105 м/с .

При включении электрического поля на хаотическое тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение электронов

(возникает электрический ток) со средней скоростью u , которую можно оценить, исходя из формулы:

43

Предельная допустимая плотность тока, например, для медных проводов составляет величину порядка 10 7 А/м2, а концентрация валентных электронов для меди n0 ~ 10 29 м – 3. Это даѐт для u 10 3 м/с. Таким

образом, u .

Друде считал, что при соударении электрона с узлом кристаллической решѐтки приобретаемая электроном на длине свободного пробега энергия

проводника однородно и под его действием электрон после столкновения движется с ускорением

Друде не учитывал максвелловское распределение электронов по скоростям

и, вспоминая закон Ома в дифференциальной форме, получаем для удельной электропроводности :

44

Отметим, что в соответствии с классической теорией электропроводности, сопротивление металлов обусловлено столкновениями электронов с узлами–ионами кристаллической решѐтки. Для закона Джоуля– Ленца в дифференциальной форме Друде получил

используя тот факт, что на длине свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию

которую он полностью передаѐт кристаллической решѐтке, а поскольку

соударений, то в единицу времени в единице объѐма должна выделяться энергия

Лоренц впоследствии усовершенствовал теорию Друде, применив статистику Максвелла – Больцмана, и показал, что к тем же результатам можно прийти, считая соударения электронов с узлами решѐтки абсолютно

упругими, и получил для выражение:

Классическая теория Друде – Лоренца не смогла объяснить целый ряд явлений, наблюдающихся на опыте. Так из опыта следует, что ~ T , а из

(3.154) следует, что ~ T . При оценке средней длины свободного пробега по формулам (3.154) и (3.158), подставляя туда экспериментальные

больше межатомного расстояния, т. е. приходится предположить, что электрон проходит без соударений с ионами решѐтки сотни межузельных расстояний. Наконец, для электронного газа классическая теория

45

предсказывала электронный вклад в молярную теплоѐмкость 32 R . Однако,

из эксперимента следует, что этот вклад в теплоѐмкость металлов оказывается ничтожно малым. Перечисленные недостатки удалось преодолеть только в квантовомеханической теории электропроводности.

46