что совпадает с (3.10). Попробуйте самостоятельно, применив теорему Гаусса, получить напряженность для равномерно заряженных сферы и шара

при условии r < R, т.е. внутри сферической поверхности и внутри равномерно заряженного шара.

3.3 Работа сил электрического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряженности. Потенциал, связь потенциала с напряженностью.

Из полученной формулы видно, что работа при перемещении пробного заряда из одной точки электростатического поля в другую зависит только от

r1 и r2 , т. е. только от положения начальной и конечной точек, а

12

промежуточные значения r могут быть любыми. Это означает, что работа, совершаемая силами электростатического поля не зависит от формы траектории перемещения и, если мы вернемся в начальную точку ( r2 r1 ),

т. е. переместим пробный заряд по замкнутой траектории, то работа будет

равна нулю. Следовательно, сила F является консервативной силой, а электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, т.е. для

него можно ввести понятие потенциальной энергии. Обозначим через выражение

и назовем эту величину потенциалом поля создаваемого точечным зарядом. Тогда работа поля будет равна:

созданном системой точечных зарядов q , q , ..., q , то на него действует

1 2 n

результирующая сила F , равная векторной сумме сил, действующих на него

со стороны каждого из зарядов, а работа А равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

i 1

т.е. потенциал электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в

от начального и конечного положения заряда qпр , но не зависит от формы

траектории перемещения. Это означает, что электростатические силы являются консервативными, а сами поля – потенциальными, т.е. для них можно ввести понятие потенциальной энергии и записать (3.33) через потенциальную энергию En :

13

Из формул (3.33) и (3.34) следует, что отношение потенциальной энергии En заряда qпр к его величине не зависит от величины qпр и поэтому

может служить энергетической характеристикой электростатического поля. Таким образом, потенциалом какой-либо точки электростатического поля называется физическая величина, равная потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в рассматриваемую точку, деленной на величину пробного заряда, т.е. потенциальной энергии, рассчитанной на единицу пробного заряда:

поля, как отношение работы А , совершаемой силами поля при перемещении

Наглядное графическое изображение электрических полей возможно не только с помощью картины силовых линий, дающей представление о напряженности в каждой точке поля, но и с помощью так называемых эквипотенциальных поверхностей. Так называют поверхность, в каждой точке которой потенциал одинаков. Например, для точечного заряда эквипотенциальные поверхности, как это следует из формулы (3.29), представляют собой концентрические сферы с общим центром в точке, где находится создающий поле заряд. Силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Действительно, если мысленно перемещать пробный заряд по эквипотенциальной поверхности, то работа, как видно из (3.32) , равна нулю, а это возможно только в том случае,

если сила F qпр E перпендикулярна перемещению.

Отметим, что, так как величина пробного заряда может быть любой, лишь бы он не нарушал пространственную конфигурацию зарядов, создающих поле, то отсюда следует, что для любого точечного заряда работа

Напряженность электростатического поля и его потенциал связаны

напряженности поля можно было считать постоянным. С одной стороны эта работа равна скалярному произведению силы на перемещение, т.е.

14

Величина, стоящая в скобках, называется в математике градиентом

вычислять Е непосредственно, например, используя принцип суперпозиции.

Кроме теоремы Гаусса для электростатического поля существует еще

одна важная теорема о циркуляции вектора Е . Проведем в произвольном электростатическом поле произвольный замкнутый контур и найдем работу сил поля по переносу заряда q вдоль этого контура. Она, очевидно равна

нулю:

15