q

q

A F d l

E d l

Ee d l 0

(3.42)

откуда следует, что

Ee d l 0 .

E d l

(3.43)

Этот интеграл в

математике называется циркуляцией

вектора Е .

Таким образом, циркуляция

вектора

Е по

произвольному

замкнутому

одинаковых по модулю разноименных

точечных зарядов q и

- q ,

находящихся на некотором расстоянии l

друг от друга . Когда говорят о

поле диполя,

то предполагают

что оно

рассматривается на расстоянии

r l и сам

диполь называют

поэтому «точечным». Оказывается,

что

расстоянию между зарядами (рис. 3.10). Произведение положительного

заряда диполя q на плечо диполя l

называется электрическим дипольным

моментом p :

p q l .

(3.44)

Вектор

таким

образом

совпадает

по

p ,

рис. 3.10

направлению с плечом диполя

l

(рис. 3.10).

При рассмотрении поля диполя можно,

конечно,

использовать принцип

суперпозиции

для

вектора

Е (рис. 3.11),

в соответствии с которым,

в

каждой

точке

А

напряженность

поля

k q

k q

E E

E ,

где

E

, а

E

.

рис. 3.11

r 2

r 2

1

q

q

q

1

1

1

r r

(3.45)

4

4

4

r r

o

r

r

r

r

o

o

Для

получения

формулы,

определяющей

напряженность

поля

результирующий вектор

Е удобнее представить не как векторную сумму

Е

E , а как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих,

одна из которых

Е

направлена вдоль радиуса-вектора r , а другая, Е

r

перпендикулярна

Еr

(рис. 3.13). Очевидно, что

E

1

2 p cos

,

(3.47)

r

r

4

o

r 3

d l r d , найдем,

а учитывая, что элемент длины вдоль направления Е

что

E

1

p sin

.

(3.48)

l

r

4 o

r 3

Модуль вектора Е

1

p

E

E 2

E 2

1 3 cos2 .

(3.49)

r

4

o

r 3

В частном случае при

0 мы получим выражение для напряженности

поля на оси диполя ( E|| ) :

E

1

2 p

,

(3.50)

||

4

o

r 3

а на прямой перпендикулярной оси (

E ) :

E

1

p

,

(3.51)

4

o

r 3

Вследствие малости отрезка l

Е

Е

l и следовательно:

l

Е

F p

,

(3.53)

l

где Е – производная от вектора Е в направлении

l .

l

По определению сил F

q E

и

F

q E

момент этих сил

относительно центра масс С диполя (рис. 3.16)

равен :

M r

, F

r

, F

r

, q E

r

, q E

,

(3.54)

где r

и r –

рис. 3.16

радиусы-векторы зарядов

q

и

q относительно центра

масс С. При достаточно малом расстоянии l

между зарядами

E E Е

и

и, так как

M

r

r

, q E

r

r

l ,

а q l

p , то

(3.55)

M p , E .

Итак, в неоднородном поле диполь стремится установиться по полю

так, что p E , а под действием результирующей силы (3.52) переместится

в

направлении

увеличения модуля

Е

.

Оба

движения

совершаются

одновременно.

Мы знаем, что энергия точечного заряда в электростатическом поле

электростатическом поле равна :

,

(3.56)

En q q q

где

и

– потенциал поля в точках расположения зарядов

q и

q

соответственно. Поскольку l мало, то

l ,

(3.57)

l

где

l

– производная потенциала, взятая по направлению вектора l .

Еl

Согласно (3.38)

, и

El l E l и,

следовательно

l

En p E .

(3.58)