ДИФГЕМлекц

Аналогично,

r¯uuv′′′ = (¯ruv′′ )′u = (Γ112r¯u′ + Γ212r¯v′ + Mn¯)′u =

=Γ112r¯uu′′ + (Γ212)′ur¯v′ + Γ212r¯uv′′ + Mn¯′u + (. . .) =

=Γ112(Γ211r¯v′ + (. . .)) + (Γ212)′ur¯v′ + Γ212(Γ212r¯v′ + (. . .))+

(11.12)

Раздел 3. Элементы тензорного анализа

Лекция 12

Криволинейные системы координат.

Тензорные поля

Криволинейная система координат. Примеры. Формулы преобразования компонент касательного вектора, градиента гладкой функции и римановой метрики при переходе в другую систему координат. Определение тензорного поля типа

(p; q) в области. Примеры.

Часто при решении геометической или физической задачи бывает необходимо перейти в другую, более удобную, систему координат. Координатное описание геометрического или физического объекта при таком переходе изменяются по вполне определенным для этого объекта правилам.

Тензорные поля представляют собой достаточно широкий класс объектов такого рода. Поскольку общее определение тензорного поля — громоздко, мы начнем изучение этого понятия с трех важнейших (и простейших) частных случаев: векторных, ковекторных полей и поля метрического тензора. Но сначала определим, что мы будем понимать под переходом в другую систему координат.

1. Системы координат

Пусть D — область в Rd с декартовыми координатами x¯ = (x1, . . . , xd).

Диффеоморфизмом области D на область G с координатами y¯ = (y1, . . . , yd) называется гладкое взаимно-однозначное отображение f : D → G, yi = yi(x1, . . . , xd), у которого обратное отображение f−1 : G → D, xi = xi(y1, . . . , yd) также гладкое. Например, отображение y = arctg x —

диффеоморфизм числовой прямой R на интервал (−π/2, π/2), тогда как y = x3 — гладкое и взаимно-однозначное отображение R на R, не яв-

√

ляющееся диффеоморфизмом, так как обратное отображение x = 3 y не дифференцируемо в точке 0.

Если задан диффеоморфизм y¯ = y¯(x) области D на область G, то набор чисел y¯ = (y1, . . . , yd), служащий координатами точки из области

G, можно считать также координатими точки из области D, поскольку зная (y1, . . . , yd) и отображение f, мы можем однозначно определить числа xi = xi(y1, . . . , yd), дающие декартовы координаты точки из области D. Это дает нам право считать (y1, . . . , yd) криволинейными координатами в области D, а взаимно-обратные отображения f и f−1 — функциями перехода

от одной системы координат к другой, и наоборот.

Пример. Полярная система координат. Пусть D = {(x, y) R2|x > 0}

— правая полуплоскость. Отображение f : r = px2 + y2, φ = arcsin √ y

взаимно-однозначно переводит область D в полуполосу G = {(r, φ)

R2|r > 0, −π/2 < φ < π/2}, причем как само отображение f, так и обратное к нему f−1 : x = r cos φ, y = r sin φ — гладкие в соответствующих областях. Поэтому, мы можем считать (r, φ) — другой системой координат (эта система и называется полярной) в области D, а (x, y) — другой системой координат в G.

Можно было бы задвться вопросом о наибольшей области, в которой еще действует данная система координат. Например, формулы, задающие отображение f−1, гладко и взаимно-одозначно отображают полу-

лы для обратного прелбразования и доказать их гладкость. В этом курсе нас интересуют, как правило, вопросы локального характера, поэтому мы будем игнорировать эту проблему.

Исследуем теперь как изменяется координатное описание некоторых геометрических объектов при переходе в другую систему координат. Далее мы рассматриваем область D, в которой действуют две системы координат,

(x1, . . . , xd) и (y1, . . . , yd).

Изменение координат касательного вектора. Пусть v — касательный

вектор к D в некоторой точке p и пусть (ξ1, . . . , ξd) — его координаты в системе (x1, . . . , xd), то есть, имеется гладкая кривая γ с уравнением

x = x(t), x(t0) = p, вектор скорости которой в точке p имеет координаты

(ξ1, . . . , ξd), ξi = dxdti (t0). При переходе в систему координат y уравнение кривой γ будет иметь вид y = y(x(t)), поэтому координаты (η1, . . . , ηd)

вектора v в этой системе координат вычисляются по формулам

ме координат (y1, . . . , yd) выражаются через его координаты (ξ1, . . . , ξd) в

системе координат (x1, . . . , xd) по формулам

Изменение компонент градиента гладкой функции. Пусть g — гладкая функция в области D, p D. Положим ξi = ∂x∂gi (p), ηi = ∂y∂gi (p), i = 1, . . . , d. Считая, что g зависит от y как сложная функция, g = g(x(y)), мы получим

Мы видим, что получившийся закон преобразования

отличается от формул (*) для касательного вектора, то есть, градиент гладкой функции — не вектор!

Изменение компонент римановой метрики. Пусть gij(x) — компоненты римановой метрики в D в системе координат x, а hij(y) — компоненты той же метрикм в системе координат y. Скалярное произведение любых

двух касательных векторов ξ1 и ξ2 из TpD вычисляется по формулам

2. Тензорные поля

Формулы преобразования вида (*), (**) и (***) встречаются в геометрии

достаточно часто. Легко догадаться как должно выглядеть их обобщение

на многомерные массивы функций типа T i1...ip(x). Такое обобщение приво-

j1...jq

дит к общему понятию тензорного поля, но прежде чем сформулировать общее определение, удобно несколько видоизменить обозначения. Как и прежде мы будем рассматривать в области D две системы координат, одна

— (x1, . . . , xd), но координатные функции другой системы координат впредь удобнее обозначать (x1′, x2′, . . . , xd′). Естественно, имеют место формулы перехода из одной системы координат в другую и обратно, записываемые формулами xi = xi(x1′, . . . , xd′) и xi′ = xi′(x1, . . . , xd). Иногда мы будем называть {xi} старой системой координат, а {xi′} — новой.

В этих обозначениях формулы (*) — (***) примут вид, который значи-

Напомним, что в этих формулах индексы i′, j′ фиксированы, а по индексам i и j подразумевается суммирование в пределах от 1 до d.

86 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Определение. Гладким тензорным полем T типа (p, q) в области

D называется объект, который в каждой действующей в области систе-

ме координат x задается набором гладких функций T i1,...,ip(x), (индексы

j1,...,jq

i1, . . . , ip, j1, . . . , jq независимо друг от друга изменяются от 1 до d) за-

висящим от выбора системы координат. Функции T i1,...,ip(x) называются

j1,...,jq

компонентами тензорного поля в системе кординат x. Требуется, чтобы компоненты тензорного поля T в системе координат x и компоненты

Далее, для сокращения записи мы бдем иногда использовать мультииндексные обозначения, то есть, группу индексов будем обозначать одной

и т.п., причем как и в обычном правиле Эйнштейна, по повторяющимся мультииндексам будет подразумеваться суммирование. Кроме того, если L = {l1, . . . , ls} и P ′ = {p′1, . . . , p′s} — два мультииндекса одинаковой длины,

Примеры. а) Простейший пример: гладкая функция — тензорное поле типа (0, 0).

б) Гладким векторным полем в области D называется отображение, которое каждой точке p из области сопоставляет касательный вектор vp

TpD, координаты которого гладко зависят от координат точки p. Из (*) сразу следует, что гладкое векторное поле — тензорное поле типа (1, 0).

в) Поле градиента гладкой функции — прмиер ковекторного поля, то есть, тензорного поля типа (0, 1).

г) Компоненты римановой метрики — тензорное поле типа (0, 2).

Разнообразные операции над тензорными полями, к описанию которых

мы приступим в следующей лекции, позволяют существенно расширить

набор примеров.

Лекция 13

Операции над тензорными полями

Алгебраические операции над тензорными полями (линейная комбинация , произведение, свертка, перестановка индексов, симметризация, альтернирование). Симметрические и кососимметрические тензоры. Дифференциальные формы. Частные производные компонент тензорного поля — не тензорное поле. Пример. Ковариантная производная тензорного поля. Аффинная связность.

1. Алгебраические операции над тензорными полями

1. Линейная комбинация.

Пусть T и U — два тензорных поля типа (p, q), f и g — две гладкие функции в области D. Определим новый набор функций

Легко проверить, что S — тензорное поле типа (p, q).

2. Перестановка индексов. Пусть σ — некоторая перестановка множества чисел (1, . . . , q). Перестановка σ действует на наборах (j1, . . . , jq)

Перестановка верхних индексов определяется аналогично. Нельзя переставлять между собой нижний и верхний индексы — такая операция не инвариантна относительно замены координат.

зывается спуском индекса i1 с помощью метрики gij.

Пример.Если {ξi} — вектор, то после опускания индекса мы получим ковектор

ξi = gijξj.

Таким образом, опускание индексов задает линейное отображение пространства векторов в пространство ковекторов. Это соответствие можно описать следующим образом: если ( , ) — соответствующее {gij} скалярное произведение, то вектору η соответствует линейная форма (ковектор),

принимающая на векторе ξ значение (ξ, η).

Наоборот, для поднятия нижних индексов при наличии метрики {gij}

необходимо рассмотреть обратную метрику, т. е. такую матрицу {gij}, что

gijgjk = δki ,

где sgn (σ) = ±1 — знак перестановки σ. Это определение не зависит от выбора системы координат ввиду тензорного характера операции переста-

новки индексов. Таким образом, тензор {T j1...jp} меняет знак при любой

i1...ik