ДИФГЕМлекц

Определение 4.6. Говорят, что кривая γ : x¯ = x¯(s) параметризована

натуральным параметром, если |x¯′(s)| ≡ 1.

В этом случае l(γ) = Rab |x¯′(s)| ds = b − a совпадает с приращением параметра s, поэтому натуральную параметризацию часто называют параметризацией длиной дуги.

Теорема 4.1. Для любой регулярной параметризованнной кривой существует эквивалентная ей кривая, параметризованная посредством длины дуги.

Доказательство. Пусть γ: x¯ = x¯(t), t I — исходная кривая. Выберем c I и расмотрим функцию

Очевидно, что

1)s(t) — дифференцируемая функция t по теореме из математического анализа о производной интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу.

2)s(t) — монотонно возрастающая функция, так как s′(t) = |x′(t)| > 0

по условию.

Следовательно, у функции s = s(t) имеется гладкая обратная функция t = t(s). Положим γ1: x¯ = x¯1(s) = x¯(t(s)). Ясно, что γ и γ1 — эквивалентны

и

Также как в механике невозможно переоценить роль ускорения (второй производной пути по времени), так и в геометрии эта величина играет одну из главных ролей.

Определение 4.7. Пусть кривая γ : x¯ = x¯(s) параметризована нату-

Кривизной k(s) кривой γ в точке x¯(s) называется длина вектора кри-

визны, |¯ |. k(s) := k(s)

Теорема 4.2. Вектор кривизны параметризованной кривой всегда ортогонален касательному вектору (вектору скорости) кривой.

Доказательство сразу следует из следующей часто используемой леммы.

Лемма 4.1. Если гладкая вектор-функция v¯ = v¯(t) имеет постоянный модуль, то ее производная v¯′(t) ортогональна v¯(t),.

Действительно, если |v¯(t)|2 = (¯v(t), v¯(t)) = const, то дифференцируя это скалярное произведение, получим

0 = (¯v(t), v¯(t))′ = (¯v′(t), v¯(t)) + (¯v(t), v¯′(t)) = 2(¯v(t), v¯′(t)).

Лекция 5

Кривые в 3-мерном пространстве. Гладкие

поверхности

Кривые в R3. Репер и трехгранник Френе. Соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Определение гладкой k- мерной поверхности в Rd. Гладкая кривая на гладкой поверхности. Касательный вектор к поверхности. Касательное пространство. Гладкое отображение гладких поверхностей. Дифференциал гладкого отображения. Матричная запись дифференциала отображения. Пример.

1. Сопровождающий трехгранник Френе

Рассмотрим сначала важный в приложениях случай гладкой параметризованной кривой в R3. Пусть в окрестности заданной точки кривой кривизна кривой отлична от нуля. В предыдущей лекции мы доказали, что

вектор кривизны ¯ всегда ортогонален вектору скорости ′ кривой с урав- k r¯t

нением r¯ = r¯(t) = (x(t), y(t), z(t)). Нормируем эти векторы и дополним их до ортонормированного базиса, который называется базисом или репером´ Френе. Для этого, параметризовав кривую длиной дуги s, определим каса-

и вектора главной нормали. Правая тройка векторов { ¯} и образует

τ¯, ν,¯ β

репер Френе.

Плоскости, образованые парами векторов из репера Френе, также имеют свои названия. Будем через L[¯v, w¯] обозначать линейную оболочку век-

торов v¯ и w¯, то есть, плоскость, порожденную векторами v¯ и w¯. Тогда:

кривой, а значит и все вектора из ¯ ортогональны кривой в соответ-

L[¯ν, β]

ствующей точке.

¯ был бы ортогонален плоскости кривой и при ортогональной проекции

β

причине плоскость ¯ называется спрямляющей.

L[¯τ, β]

В) Название плоскости L[¯τ, ν¯] — соприкасающаяся — напоминает о

том, что из всех касательных к кривой плоскостей, степень соприкосновения плоскости L[¯τ, ν¯] с кривой — наибольшая (например, плоская кривая целиком лежит в соприкасающейся плоскости L[¯τ, ν¯]) (подробнее о понятии соприкосновения плоскости и кривой см. [7, с. 37–38]).

Подведем итог.

Определение 5.1. Базисом Френе параметризованной кривой r¯ = r¯(t)

стью, плоскость ¯ называется спрямляющей плоскостью, плос-

L[¯τ, β]

кость L[¯τ, ν¯] — соприкасающейся плоскостью. Набор из нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостей образует сопровождающий трехгранник Френе кривой.

При изменении параметра s по кривой движется точка r¯(s), вместе с ней движется и репер Френе. Скорость изменения векторов из репера Френе имеет определенное геометрическое значение. Действительно, ско-

То есть, ¯˙ − . Коэффициент в этой формуле традиционно обозначают

β = bν¯ b

греческой κ и называют кручением кривой. Таким образом,

называется коэффициент из уравнения ¯˙ − .

κ β(s) = κν¯(s)

Тем самым, кручение есть (ориентированная) скорость изменения вектора бинормали или, по другому, скорость вращения соприкасающейся плоскости, но следует иметь в виду, что кривизна кривой всегда неот-

рицательна, а кручение может иметь любой знак.

откуда b = κ. Тем самым, мы доказали следующую теорему.

Теорема 5.1. (Формулы Френе.) Векторы репера Френе удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений

τ¯˙ = kν¯

˙ − ¯ . ν¯ = kτ¯ + κβ

¯˙ −

β = κν¯

Геометрическое значение этой системы дифференциальных уравнений в том, что из нее видно, что две геометрические характеристики — кривизна и кручение — позволяют по существу однозначно определить всю кривую. Точную формулировку соответствующего результата мы приведем в общем случае.

2. Гладкие k-мерные поверхности в Rd

Определение 5.3. Регулярной k-мерной параметризованной поверхно-

стью в Rd называется гладкое отображение f некоторой области

D Rk в Rd, имеющее ранг k в каждой точке из D.

Напомним, что рангом гладкого отображения f¯ = (f1, . . . , fd): D → Rd

в точке x¯0 называется ранг матрицы Якоби отображения f в точке x¯0,

Определение 5.4. Множество Π из Rd называется гладкой k-мерной поверхностью, если каждая точка x¯0 множества Π имеет такую окрестность Ux¯0 , что Π ∩ Ux¯0 есть образ некоторой регулярной k- мерной параметризованной поверхности. Если Π ∩ Ux¯0 = ϕ¯(G), где

G Rk, а ϕ¯(¯x) = (ϕ1(x1, . . . , xk), . . . , ϕd(x1, . . . , xk)), то мы будем называть (x1, . . . , xk) локальной системой координат в окрестности Ux¯0

на поверхности Π, или, короче, локальными координатами на поверхности, а область G — областью определения локальной системы координат в окрестности Ux¯0 .

Пусть теперь в d-мерном пространстве Rd с координатами (x1, . . . , xd)

задана k-мерная регулярная поверхность Π (в параметрической форме):

Тогда вектор скорости кривой tj = tj(t), j = 1, . . . , k, лежащей на поверхности, имеет вид

v¯ = (x˙1, . . . , x˙d) = t˙1r¯1 + . . . + t˙kr¯k,

Векторы r¯j образуют базис k-мерной плоскости, касающейся поверхности в данной точке. Мы видим, что если кривая задана в координатах t1, . . . , tk, то ее касательный вектор имеет в базисе (¯rj) координаты (t˙1, . . . , t˙k).

Лекция 6

Риманова метрика

Скалярное произведение на линейном пространстве, его вид в произвольном базисе. Риманова метрика. Примеры: метрика на кривой и поверхности, метрика Лобачевского в единичном круге и на верхней полуплоскости.

1. Скалярное произведение на линейном пространстве

Пусть V — линейное пространство над полем R.

Определение 6.1. Скалярное произведение на линейном пространстве

Vесть билинейная функция (·, ·) : V × V → R со свойствами

1)x V, (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 x = 0, (положительная определенность);

2)x, y V, (x, y) = (y, x), (симметричность);

3)x, y, z V, α, β R, (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z), (линейность).

Как много различых скалярных произведений можно ввести на заданном линейном пространстве и чем выделена известная школьная формула x1y1 + x2y2? Для ответа на этот вопрос выберем базис e1 . . . en в пространстве V и положим gij = (ei, ej). Ясно, что gij = gji. Зная числа gij мы можем вычислить скалярное произведение любой пары векторов. Действи-

то свойство линейности будет очевидно выполнено. Чтобы имела место симметричность скалярного произведения (выполнялось свойство 2) определения) необходимо, чтобы матрица (gij)ni,j=1 была симметрической, т.е.

gij = gji, i, j. И, наконец, свойство положительной определенности скалярного произведения на языке матриц также называется положительной определенностью (из алгебры известен критерий Сильвестра положительной определенности квадратной матрицы). Таким образом, различных скалярных произведений на линейном пространстве размерности n ровно столько, сколько имеется положительно определенных симметрических матриц порядка n. При этом школьная формула для скалярного произведения получается, если матрица (gij)ni,j=1 будет единичной, что эквивалентно ортонормированности базиса {ei} относительно заданного скалярного произведения.

Пусть Π — гладкая d-мерная поверхность в Rn.

Определение 6.2. Риманова метрика на поверхности Π — это скалярное произведение, заданное на каждом касательном пространстве TxΠ

к поверхности Π, гладко зависящая от точки x поверхности Π.

Гладкая зависимость скалярного произведения от точки x понимается так: если U(x) и V (x) два любых гладких векторных поля на поверхности Π, т.е. U(x), V (x) TxΠ, то скалярное произведение (U(x), V (x)) есть гладкая функция на Π. Как записать риманову метрику в локальных координатах на поверхности? Пусть Π — гладкая d-мерная поверхность и

(x1, . . . , xd) D Rd-локальные координаты на Π, то есть имеется регулярная параметризация f : D → Rn некоторой окрестности UPo на Π. Пусть

(x10, . . . , xd0) = x0 кооринаты точки P0. Через точку x0 проходит d координатных линий, например (x10, . . . , xj0−1, xj0, xj0+1, . . . , xd0) = x0, касательные векторы к которым в точке x0 имеют вид ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) и образуют естественный базис касательного пространства Tx0 D, их образы под действием индуцированного отображения f : Tx0 D → TP0 Π будут образовывать базис касательного пространства к поверхности Π в точке P0.

Поскольку в касательных пространствах TP0 Π задано скалярное произведение, то нам известны величины

gij(x0) := (f ei, f ej)P0 = (ei, ej)x0 ,

которые становятся функциями локальных координат x на Π. Величины gij(x) собирают вместе в одной формуле и обозначают

Так обычно записывают риманову метрику, как квадратичную форму от дифференциалов локальных координат на поверхности. Отметим еще раз геометрический смысл коэффициентов gij(x) — это скалярное произведение стандартных касательных векторов к i-й и j-й координатным линиям на поверхности в точке их пересечения x.

2.Примеры римановых метрик

1.Евклидова метрика.

2. Метрика Пуанкаре геометрии Лобачевского.

Мы рассмотрим две модели геометрии Лобачевского, предложенные А.Пуанкаре: в верхней полуплоскости и в единичном круге.

1) Верхняя полуплоскость: H = {(x, y) R2, y > 0}.

ds2 = dx2 + dy2 . y2

2) Единичный круг: D = {(x, y) R2, x2 + y2 < 1}.

3) Сферическая метрика.

Получим формулу для римановой метрики двумерной сферы радиуса

R, индуцированной евклидовой метрикой объемлющего трехмерного пространства. Для этого рассмотрим обычную параметризацию сферы геогра-