ДИФГЕМлекц

Далее, s(t) = Rtt0 |r¯u′ u′t + r¯v′ vt′| dτ, значит,

(s′t)2 = |r¯u′ u′t + r¯v′ vt′|2 =

=(¯ru′ , r¯u′ )u′t2 + 2(¯ru′ , r¯v′ )u′tvt′ + (¯rv′ , r¯v′ )vt′2 =

=g11u′t2 + 2g12u′tvt′ + g22vt′2 =

=ds2(u′t, vt′).

Итак,

II(u′, v′) Lu′2 + 2Mu′v′ + Nv′2 kγ(¯r0) cos ϕ = ds2(u′, v′) = g11u′2 + 2g12u′v′ + g22v′2 .

3. Нормальная и геодезическая кривизны

Среди всех кривых на поверхности, которые проходят через точку r¯0 в

направлении вектора (u′, v′) выделяются те кривые, вектор кривизны которых в точке r¯0 ортогонален поверхности. Для таких кривых cos φ = ±1. Проще всего построить такую кривую, если рассмотреть сечение поверхности Π плоскостью, порожденной вектором нормали n¯(¯r0) и касательным вектором (u′, v′). Такая кривая называется нормальным сечением поверхности Π в точке r¯0 в направлении (u′, v′). Мы приходим к следующему определению.

Определение 10.2. Нормальной кривизной n ¯ поверхности в точ- k (V ) Π

ке в направлении касательного вектора ¯ называется проек- r¯0 V Tr¯0 Π

ция вектора кривизны нормального сечения поверхности Π в точке r¯0,

проходящего через в направлении вектора ¯ на единичную нормаль r¯0 V

к Π в точке r¯0.

Приведенные выше рассуждения дают формулу для вычисления нор-

мальной кривизны. Если касательный вектор ¯ имеет локальные коорди-

V

наты (a, b), то

Как правило, нормальная кривизна поверхности изменяется при изменении направления, в котором она вычисляется, и имеется два направления,

в которых нормальная кривизна принимает экстремальные значения — направление минимума и направление максимума нормальной кривизны. Такие направления называются главными направлениями на поверхности в заданной точке, а нормальные кривизны поверхности в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в заданной точке.

Имеется два терминологически различающихся случая, когда главные направления не определены, а именно:

1)если нормальная кривизна в каждом направлении равна 0, тогда такая точка на поверхности называется точкой уплощения, поскольку такая ситуация имеет место в каждой точке плоскости;

2)если нормальная кривизна в каждом направлении равна одному и тому же ненулевому числу. Такая точка называется омбилической или

сферической. Очевидно, что сфера состоит только из омбилических точек.

Упражнение. Привести пример поверхности, у которой точки уплощения (омбилические точки) целиком заполняют некоторую кривую на поверхности.

В следующей теореме показано, как находить главные кривизны и главные направления в заданной точке поверхности.

Теорема 10.1. Главные кривизны поверхности в точке p — это корни

квадратного уравнения

Главное направление, соответствующее главной кривизне ki, (i = 1, 2)

— это ненулевое решение однородной системы линейных уравнений

причем в этом неравенстве достигается равенство на некотором векторе

(a, b), имеющем соответствующее главное направление. Другими словами, главное направление, соответствующее главной кривизне k1 есть точка максимума квадратичной формы, стоящей в левой части неравентва (10.5), поэтому частные производные по a и b от нее должны равняться 0. Этим доказано второе утверждение теоремы.

для всех (a, b) вида

0 ≤ (L − k2g11)a2 + 2(M − k2g12)ab + (N − k2g22)b2,

Но чтобы система (10.4) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю. Это доказывает первое утвер-

ждение теоремы.

Мы продолжаем рассматривать ситуацию: на регулярной параметризованной поверхности Π лежит гладкая кривая γ; проходящая через точку p Π и параметризованная длиной дуги s. Пусть n¯ — ориентирующая

ную плоскость TpΠ, характеризующая искривленность γ в касательном

направлении. Длина вектора ¯ равна модулю так называемой геодезиче- kt

ской кривизны кривой γ, но чтобы корректно учесть и знак геодезической кривизны нужны некоторые пояснения.

вается геодезической кривизной кривой γ в точке p.

Позже мы докажем, что линия на поверхности будет геодезической тогда и только тогда, когда ее геодезическая кривизна тождественно равна нулю. Этим объясняется название этой кривизны. Заметим, что геодезическая кривизна меняет знак при изменении ориентации поверхности, либо при изменении направления движения по кривой.

4. Линии на поверхности

Направление в касательной плоскости к поверхности называется

асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю.

Кривая на поверхности называется асимптотической, если ее касательная в каждой точке имеет асимптотическое направление. Уравнение асимптотических линий II = 0, или Ldu2 + Mdudv + Ndv2 = 0.

Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее касательная в каждой точке имеет главное направление. Исключая ki из уравнения (10.4), получим дифференциальное уравнение линий кривизны:

(g11M − g12L)du2 + (g11N − g22L)dudv + (g12N − g22M)dv2 = 0. (10.7)

Из уравнения (10.7) можно также вычислить координаты главных направлений поверхности в заданной точке.

Лекция 11

Теоремы Эйлера и Гаусса

Гауссова и средняя кривизна, классификация точек поверхности, форма поверхности и знак гауссовой кривизны. Теорема Эйлера о нормальной кривизне поверхности. Деривационные формулы. Теорема Гаусса.

1. Гауссова и средняя кривизны. Теорема Эйлера

Определение 11.1. Гауссовой кривизной K поверхности в заданной точке называется произведение главных кривизн поверхности в этой точке. Средней кривизной H называется полусумма главных кривизн,

Теорема 11.1. Гауссова и средняя кривизны поверхности выражается через коэффициенты римановой метрики и второй квадратичной формы

Доказательство. Вычислив определитель из теоремы 10.1, получим

(g11g22 − g122 )λ2 − (Lg22 + Ng11 − 2Mg12)λ + (LN − M2) = 0.

Утверждение теперь следует из теоремы Виета.

Форма поверхности в окрестности заданной точки тесно связана со знаком гауссовой кривизны. Введем терминологию.

Определение 11.2. Точка p на поверхности называется точкой эллиптического типа, если K(p) > 0, гиперболического типа, если K(p) < 0

и точкой параболического типа, если K(p) = 0.

Если p — точка эллиптического типа, то вектора кривизны в точке p у всякого нормального сечения имеют одно и то же направление, то есть выпуклость нормальных сечений направлена одинаково и в целом поверхность в окрестности точки p выпуклая. Базовый пример: поверхность эллипсоида состоит из точек эллиптического типа. В окрестности точки гиперболического типа поверхность имеет седлообразный вид, поскольку направление выпуклости нормальных сечений, проведенных в главных направлениях, противоположно. Базовый пример: поверхность гиперболического параболоида или однополостного гиперболоида состоит из точек гиперболического типа. Поведение поверхности в окрестности точки параболического типа может быть достаточно сложным. Примеры: точки параболического типа на поверхности тора или на поверхности “обезьяньего” седла.

Рис. 2.1: Обезьянье седло с касательной плоскостью в точке уплощения.

Следующая теорема показывает, как вычислить нормальную кривизну поверхности в произвольном направлении, если известны главные кривизны.

Теорема 11.1. Теорема Эйлера. Пусть Π — гладкая поверхность в

Доказательство. Выберем удобную систему координат, поместив начало координат 0 в точку p, оси Ox и Oy — по касательным к поверхности Π в точке p и ось Oz — перпендикулярно поверхности. Тогда в окрестности точки p поверхность можно задать в виде графика некоторой гладкой функции f, то есть, регулярная параметризация Π в окрестности точки p будет иметь вид r¯ = (u, v, f(u, v)), причем f(0, 0) = 0 и fu′ (0, 0) = fv′(0, 0) = 0, так как касательные вектора r¯u′ = (1, 0, fu′ ) и r¯v′ = (0, 1, fv′) в точке 0 должны иметь координаты (1, 0, 0) и (0, 1, 0), соответственно. Вычислим метрику и вторую квадратичную форму. Имеем

Если fuv′′ ̸= 0, то также как в алгебре при приведении квадратичной формы к главным осям, мы можем сделать поворот в плоскости (u, v) на некоторый

угол α, положив

ue = cos α u − sin α v,

ve = sin α u + cos α v.

иподобрав угол α так, чтобы в новой системе координат

Заметим, что из этой формулы легко следует, что fu˜′′u˜ и fv˜′′v˜ — главные кривизны. Действительно, не ограничивая общности, предположим, что fu˜′′u˜ ≥ fv˜′′v˜. Тогда, заменив в (11.1) cos2 ϕ на 1 − sin2 ϕ, получим

Следствие 11.2. Главные направления в точке на поверхности, не являющейся точкой уплощения или омбилической точкой, ортогональны.

2. Деривационные формулы. Теорема Гаусса

С каждой точкой регулярной параметризованной поверхности связан

Френе мы можем разложить по векторам этого базиса их производные

{r¯uu′′ , r¯uv′′ , r¯vv′′ , n¯′u, n¯′v}.

Теорема 11.3. Пусть L, M и N — коэффициенты второй квадратичной формы, тогда имеют место следующие деривационные формулы

где Γijk = 12gis ∂g∂xskj + ∂g∂kjs − ∂g∂xjks — коэффициенты римановой связности (x1 = u, x2 = v, i, j, k = 1, 2).

Доказательство. Докажем (11.3). Умножив (11.3) скалярно на r¯u′ и учитывая, что (¯n, r¯u′ ) = (¯n, r¯v′ ) = 0, получим

Γ111(¯ru′ , r¯u′ ) + Γ211(¯rv′ , r¯u′ ) = Γ111g11 + Γ211g12 = (¯ruu′′ , r¯u′ ) = 12(¯ru′ , r¯u′ )′u = 12 ∂g∂u11 .

(11.8)

Умножим теперь (11.3) скалярно на r¯v′ :

Совершенно аналогично доказываются (11.4) и (11.5).

Чтобы доказать (11.6) и (11.7), заметим, что n¯′u n¯ n¯′v. Действитель-

80 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Решая эту систему уравнений относительно a и b, получим (11.6). Аналогичным образом доказывается (11.7).

Как и в случае формул Френе, опираясь на деривационные формулы, мы можем вычислить разложение третьих производных (например, r¯uuv′′′ ) по u и v по базису {r¯u′ , r¯v′ , n¯}, четвертых производных и т.д. Заметим, однако, что r¯uuv′′′ можно вычислить двумя разными способами: из (11.3) и из (11.4). Поэтому правые части равенств (11.3) и (11.4) связаны соотношением, впервые замеченным Гауссом и приведшем его к следующей «блистательной» теореме — так с латинского переводится эпитет, которым Гаусс наградил эту замечательную теорему.

Теорема 11.4. (Theorema egregium Гаусса.) Гауссова кривизна поверхности выражается через коэффициенты римановой метрики поверхности и, значит, не меняется при изгибании поверхности, то есть, если f : Π1 → Π2 — изометрия поверхностей, то для любой точки p Π1,

K(p) = K(f(p)).

Доказательство. Вычислим коэффициент при r¯v′ в разложении r¯uuv′′′ по базису {r¯u′ , r¯v′ , n¯} сначала из (11.3), затем из (11.4):

r¯uuv′′′ = (¯ruu′′ )′v = (Γ111r¯u′ + Γ211r¯v′ + Ln¯)′v =

=Γ111r¯uv′′ + (Γ211)′vr¯v′ + Γ211r¯vv′′ + Ln¯′v + (. . .) =

=Γ111(Γ212r¯v′ + (. . .)) + (Γ211)′vr¯v′ + Γ211(Γ222r¯v′ + (. . .))+

где (. . .) обозначает слагаемые вида Ar¯u′ + Bn¯ за которыми мы не следим.