ДИФГЕМлекц

сферы с удаленными полюсами {z = ±1}. Область изменения локальных координат ϕ и ψ — прямоугольник.

Стандартный базис {e1, e2} касательного пространства T(ϕ0,ψ0)D (рис.) под действием дифференциала отображения параметризации f (6.1) пе-

рейдет в базис {f e1, f e2} касательного пространства Tf(ϕ0,ψ0)S, причем

∂f

f (e1) = ∂ϕ(ϕ0, ψ0) = (−R sin ϕ0 cos ψ0, −R sin ϕ0 sin ψ0, R cos ϕ0),

∂f

f (e2) = ∂ψ(ϕ0, ψ0) = (−R cos ϕ0 sin ψ0, R cos ϕ0 cos ψ0, 0).

Вычисляя скалярные произведения (f ei, f ej) по обычной формуле (поскольку в объемлющем трехмерном пространстве рассматривается обычная евклидова геометрия) мы получим g11 = R2, g12 = g21 = 0, g22 = R2 cos2 ϕ. Значит, ds2 = R2(dϕ2 + cos2 ϕdψ2) — риманова метрика сферы радиуса R.

4) Индуцированная метрика.

Приведем теперь формулы для общего случая k-мерной поверхности в

d-мерном евклидовом пространстве, параметризованной следующим образом: xi = xi(t1, . . . , tk), i = 1, . . . , d. Длины кривых tj = tj(t), j = 1, . . . , k, лежащих в пространстве на поверхности Π

Очевидно, (dl)2 = gij dti dtj.

Таким образом, метрика пространства определяет метрику на любой лежащей в нем поверхности, оказывающуюся, вообще говоря, неевклидовой. Метрика (6.3) называется индуцированной метрикой на поверхности.

Лекция 7

Основы римановой геометрии

Длина кривой, угол между кривыми и площадь поверхно-

сти на римановом многообразии. Индуцированная метрика.

Задача о локсодроме. Площадь поверхности.

1. Длина кривой и угол между кривыми

Пусть на поверхности задана гладкая кривая γ и x = x(t), t [a, b]

— её запись в локальных координатах. Выведем формулу для вычисления

Воспринимая dt как бесконечно малую и пытаясь манипулировать с ней как с числом, мы можем в последней формуле внести dt под корень, сократить и получить нечто вроде

Получилась интуитивно вполне приемлемая формула, из которой становится ясно, почему для римановой метрики используется обозначение ds2.

В качестве примера применения формулы для длины кривой, вычислим длину радиуса от точки (0, 0) до (x0, y0) в модели Пуанкаре в единичном круге. Запишем параметрически уравнение радиуса x = x0t, y = y0t, t

[0, 1]. Тогда dx = x0dt, dy = y0dt,

(x2 + y2)dt2 ds2 = 0 0 .

(1 − x20t2 − y02t2)2

54 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Окончательно получаем

Заметим, что при стремлении конца отрезка к единичной окружности, длина отрезка стремится к бесконечности, т. е. точки граничной окружности {x2 + y2 = 1} находятся на бесконечном удаленнии от точек конечной части плоскости Лобачевского {x2 + y2 < 1}.

Рассмотрим еще одну формулу римановой геометрии. Пусть кривые γ1 : x¯ = x¯1(t) и γ2 : x¯ = x¯2(t) пересекаются в точке x¯0 = x¯1(t0) = x¯2(t1). По определению углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными векторами в точке их пересечения. Поэтому

В этой формуле и далее мы будем придерживаться следующего соглашения, которое иногда называют правилом суммирования Эйнштейна: если в некоторой формуле дважды встречается один и тот же индекс, причем один раз это нижний индекс, а другой раз — верхний, то по этому индексу происходит суммирование в пределах его изменения.

2. Задача о локсодромии

В качестве примера решим следующую задачу сферической геометрии.

Найти уравнение кривых на сфере, пересекающих все меридианы

ϕ = const под углом α (это кривая постоянного курса, который легко выдержать опираясь на показания компаса).

Решение. Пусть искомая локсодрома задается как график функции g(ϕ), т. е. параметрическое уравнение имеет вид:

ϕ = t

.

ψ = g(t)

Касательный вектор к локсодроме: τ1 = (1, g′(t)). Параметрическое уравнение меридиана: ϕ = t, ψ = ψ0, касательный вектор τ2 = (1, 0). Вычисляем косинус угла между τ1 и τ2:

Отсюда найдем g′. Так как

cos2 α(1 + cos2 t · (g′(t))2) = 1,

то

cos2 α cos2 t · (g′(t))2) = sin2 α.

Отсюда

g′(t) = ±costg αt.

После интегрирования получим

g = ±tg2α ln 11 −+ sinsin tt + c.

Возвращаясь к прежним обозначениям окончательно получаем

ψ= ±tg2α ln 11 −+ sinsin ϕϕ + c.

3.Площадь поверхности

Покажем теперь как вычислять площадь области на поверхности r¯ = r¯(u, v), r = r(x, y, z) в пространстве, если известна риманова метрика на самой поверхности

Рассмотрим детерминант матрицы (gij):

Определение 7.1. Площадью области U на поверхности r¯ = r¯(u, v), r¯ = (x, y, z), называется величина

σ(U) = ZZ √g du dv,

U

где U — область на поверхности, заданная параметрически как область в плоскости (u, v).

Выражение √g du dv называется дифференциалом (элементом) площади на поверхности с римановой метрикой (gij).

Поясним, почему формула площади выглядит именно так. Рассмотрим пару векторов ξ, η евклидовой плоскости и параллелограмм λξ + µη,

0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ 1. Из курса аналитической геометрии известно, что площадь параллелограмма равна σ = |ξ1η2 − ξ2η1| = | det A|, где матрица

A образована из координат векторов ξ = ξ1e1 + ξ2e2 и η = η1e1 + η2e2 по отношению к ортонормированному базису e1, e2.

Пусть теперь базис e¯1, e¯2 не ортонормированный и скалярное произведение базисных векторов задается матрицей

(¯ei, e¯j) = gij, i, j = 1, 2.

Вычислим площадь параллелограмма, натянутого на векторы e¯1 и e¯2. Точки параллелограмма по прежнему {λe¯1 + µe¯2}, где 0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ 1.

Лемма 7.1. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы e¯1 и e¯2,

p

p

det (gij) = g11g22 − g122 .

Доказательство. Квадратичную форму gij можно привести к диагональному виду gij′ = δij линейным преобразованием A, то есть, найдутся такие векторы e1, e2, что

58 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Определение 7.2. Предел сумм S(f, U) при ∆u → 0, ∆v → 0, если он существует, называется двукратным интегралом от функции f(u, v)

U

легко понять, почему выше мы определили площадь области на плоскости с координатами u = x1, v = x2, в которых метрика имеет вид ds2 = g11 du2 + 2g12 du dv + g22 dv2, как интеграл

σ(U) = ZZ √g du dv.

U

Действительно, если ∆u и ∆v малы, то площадь малого параллелограмма с центром в точке (uα, vα) и со сторонами ∆u и ∆v равна примерно

p

Sα ≈ ∆u ∆v g11g22 − g122 согласно доказанному выше утверждению, причем числа gij вычисляются в точке (uα, vα). Мы имеем при малых ∆u, ∆v

XX

p

Sα ≈ g(uα, vα) ∆u ∆v.

αα

Предел этих сумм при ∆u → 0, ∆v → 0 и есть интеграл σ(U) =

RR √g du dv.

U

Лекция 8

Расстояние на римановом многообразии.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Расстояние на римановом многообразии. Геодезические линии. Обобщение задачи — простейшая задача вариационного исчисления. Действие. Лагранжиан. Вывод уравнений Эйлера–Лагранжа.

1. Геодезические

Основные объекты элементарной геометрии — прямые и окружности. Развивая риманову геометрию, хотелось бы иметь аналоги этих элементарных объектов. В качестве ключевого свойства прямой линии евклидовой геометрии, которое кладут в основу риманова обобщения прямой, выбирают свойства отрезков прямых быть кратчайшими кривыми, соединящими заданные точки (концы отрезков). Имеется одна тонкость: не для всякой пары точек области может существовать кратчайшая кривая, соединяющая эту пару точек. Простой пример: область D — круг с выброшенным центром, точки p и q — центрально симметричные точки круга. Ясно, что в этой ситуации не существует кратчайшей кривой (в евклидовой геометрии), соединяющей p и q. По этой причине свойство быть кратчайшей кривой локализуют.

Определение 8.1. Пусть на гладкой поверхности Π с римановой метрикой ds2 лежит гладкая кривая γ. Кривая γ называется геодезической

(или, локально кратчайшей) если для любой точки p γ существует окрестность Up такая, что для любой кривой γ˜, совпадающей с γ вне Up и для любой пары точек a, b γ вне Up выполняется условие: l(˜γ)ba ≥ l(γ)ba, где l(γ)ba — длина кривой γ с концами в точках a, b.

Чтобы найти геодезическую, нужно решить задачу на локальный экстремум. В математическом анализе давно разработан метод нахождения

уравнений, которым удовлетворяют точки экстремума. Будем подходить к выводу уравнений геодезических с позиций математического анализа. Полезно несколько обобщить задачу, поскольку она имеет гораздо большее значение, нежели просто построение риманова аналога прямых линий.

2. Простейшая задача вариационного исчисления

Пусть D — область в Rd и p, q — две точки из D. Рассмотрим множество

Φ всех гладких параметризованных кривых γ: x = x(t), t [a, b] в области

D, соединяющих точки p и q, т. е. x(a) = p, x(b) = q, γ Φ. Пусть на множестве Φ задана функция, называемая действием,

b

Z

S(x) := L(x(t), x(˙t), t)dt.

a

Требуется найти уравнения, которым должна удовлетворять всякая кривая x = x(t), доставляющая экстремальное значение действию S(x). Такие кривые называются экстремалями действия. Сформулированная таким образом задача, отностится к классу простейших задач вариационного исчисления, а подинтегральное выражение L(x, x,˙ t) называется лагарнжианом действия и, как правило, имеет достаточное число непрерывных производных. Задача об определении геодезических линий становится частным случаем этой задачи, если в качестве лагранжиана взять

pp

L(x, x˙) = (x, x˙) = gij(x)x˙ix˙j — длину касательного вектора к кривой x(t), соединяющего заданные точки p и q из риманова многообразия

(D, ds2).

Теорема 8.1. Если x¯ = x¯(t), x¯(a) = p,¯ x¯(b) = q¯ - экстремаль действия

b

S(¯x) = R L(x1, . . . , xn, x˙, . . . , x˙n, t)dt, то x¯ = x¯(t) удовлетворяет системе

a

уравнений Эйлера–Лагранжа