ДИФГЕМлекц

Доказательство. Пусть x¯ = x¯(t) — экстремаль действия S(¯x). Возьмем

варьируем экстремаль, т.е. построим новую функцию ¯ . x¯ϵ(t) = x¯(t) + ϵh(t)

Для достаточно малых ϵ действие S(x) определено в точке xϵ и мы можем рассмотреть функцию

Так как x¯ = x¯(t) — экстремаль действия, то S(ϵ) имеет экстремум при

ϵ = 0, кроме того по свойствам интегралов, зависящих от параметров, S(ϵ)

— дифференцируемая функция, значит S′(0) = 0. Распишем это равенство подробнее.

b

так как hi(a) = hi(b) = 0. Поскольку hi — почти произвольные гладкие функции, то утверждение теоремы следует из леммы, которую иногда называют основной леммой вариационного исчисления:

Лемма 8.1. Если f1(t), . . . , fn(t) — такие непрерывные на [a, b] функции,

что

b

Z

X

fi(t)hi(t)dt = 0

a

для любых непрерывных на [a, b] функций hi(t) с условием hi(a) = hi(b) = 0, то все fi(t) тождественно равны 0.

Доказательство. Доказательство этой леммы легко получается методом от противного. Если некоторая функция fk в некоторой точке отлична от нуля, например, fk(c) > 0, то по непрерывности в целой окрестности

Uc функция fk будет больше некоторого положительного ϵ. Теперь легко

b

R

подобрать hk с с трапецеидальным графиком так, чтобы fkhkdt > 0. Взяв

a

остальные hi ≡ 0 мы получим противоречие с уловиями леммы.

Часть II

Геодезические, теория кривизны поверхностей

и элементы тензорного анализа

Лекция 9

Геодезические на римановом многообразии

Вывод классических уравнений геодезических линий на римановом многообразии. Существование и единственность геодезических, выходящих из заданной точки в заданном направлении. Закон сохранения энергии и его геометрическое следствие. Связь между решениями систем уравнений геодезических, полученных из функционалов длины и энергии.

В соответствии с общей теорией, геодезические на d-мерном римано-

Наличие квадратного корня в этой системе уравнений значительно усложнчет ее решение. Однако, оказывается, что геодезические — также экстремали более простого действия — "кинетической энергии"

Опираясь на действие T (γ), выведем классическое уравнение геодезических, а связь этих уравнений с уравнениями (9.1) будет рассмотрена поз-

Для придания коэффициентам этой системы более симметричного вида симметризуем коэффициенты квадратичной относительно компонент вектора скорости формы ∂g∂xkjl x˙lx˙j, т. е. воспользуемся тождеством

Поменяем еще в этом тождестве индекс суммирования l на i, подставим

Разрешим систему (9) относительно старших производных x¨j. В систему (9) они входят в линейных комбинациях. Матрица из коэффициентов этих линейных комбинаций — матрица римановой метрики (gkj), следовательно, невырожденная, значит, существует обратная матрица (gkj)−1. В геометрии принято элементы обратной матрицы обозначать той же буквой, но менять положение индексов, тем самым по этому соглашению

(gkj) := (gkj)−1,

66 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Здесь мы ввели обозначение

(напоминаем, что по s подразумевается суммирование от 1 до d, поэтому совершенно все равно, какой буквой обозначать этот индекс суммирования s, k, n и т.п., лишь бы он был свободным, результат от этого не изменится). Итак, мы получили каноническую систему уравнений геодезических римановой геометрии

Коэффициенты Γlij, входящие в канонические уравнения геодезических, называются символами Кристоффеля второго рода или коэффициентами римановой связности.

Предложение 9.1. Через каждую точку p гладкой k-мерной поверхности

в заданном направлении ¯ проходит единственная геодезиче-

Π V TpΠ

ская.

Доказательство. Геометрические условия утверждения могут быть переформулированы на языке анализа следующим образом: нужно найти решение системы (9.3), удовлетворяющие начальным x(t0) = p, x˙(t0) = V , то есть, для системы уравнений (9.3) нужно решить стандартную задачу Коши. Ввиду гладкости коэффициентов связности (Γijk), система (9.3) удовлетворяет обычным условиям существования и единственности решения задачи Коши для нее, откуда и следует справедливость утверждения.

Исследуем теперь как связаы между собой решения систем уравнений Эйлера–Лагранжа для функционала энергии

Пусть x(t) — решение (*), параметризуем параметром пропорциональным длине дуги кривой x = x(s). При такой параметризации gijx˙ix˙j = k2, где k — коэффициент пропорциональности и система (*) совпадает с системой (Γ).

Поэтому, если взять "произвольное решение"уравнения (*) и репараметризовать его параметром, пропорциональным длине дуги s, то получим решение уравнения (Γ). Обратно, пусть x = x(t) удовлетворяет уравнению (Γ). Запишем для лагранжиана L = gijx˙ix˙j закон сохранения энергии

x˙k ∂∂Lx˙k − L = x˙k2gkjdotxj − gijx˙ix˙j = gijx˙ix˙j = const.

Другими словами — длина вектора скорости постоянна. Это означает, что параметр t пропорционален длине дуги s, поэтому x = x(t) будет решением системы (9.4). Мы доказали

Утверждение 9.1. Всякое решение системы уравнений (9.4) репараметризованное натуральным параметром будет удовлетворять системе уравнений (9.3). Обратно, всякое решение системы (9.3) есть кривая, параметризованная параметром пропорциональным длине дуги и поэтому будет также решением системы (9.4).

Лекция 10

Кривизна кривой на 2-мерной поверхности.

Вторая квадратичная форма

Ориентация поверхности. Кривизна кривой на 2-мерной поверхности. Вторая квадратичная форма. Формулы для ее коэффициентов. Нормальная кривизна поверхности. Главные кривизны и главные направления, их геометрический смысл. Геодезическая кривизна. Асимптотические направления и асимптотические линии на поверхности. Линии кривизны.

1. Ориентация поверхности

Геометрические величины, определяемые в этой лекции, зависят ориентации поверхности. Приведем соответствующее определение. Пусть Π

— гладкая поверхность в R3, в каждой точке p Π существует ровно 2 единичных вектора нормали к Π в точке p, а именно, n(p) и −n(p). Мы можем в каждой p выбрать одну из этих нормалей, получив тем самым

поле единичных нормалей на Π

Определение 10.1. Если в каждой точке p Π можно выбрать единичный вектор нормали n(p) так, что получится непрерывное поле нормалей, то поверхность Π называется ориентируемой. В противном случае Π называется неориентируемой. Непрерывное поле единичных нормалей на ориентируемой поверхности Π называется ориентацией

поверхности или ориентирующим полем нормалей.

Самой известной из неориентируемых поверхностей является поверхность по имени лист Мебиуса. С другой стороны, локально всякая гладкая поверхность — ориентируема. Действительно, если r¯ = r¯(u, v) регулярная параметризация Π в окрестностях точки p, то очевидно, что поле

это поле мы будем использовать по умолчанию в качестве ориентирующего.

2. Вторая квадратичная форма

Пусть теперь Π — гладкая поверхность в R3 с координатами (x, y, z), r¯ = r¯(u, v) : D → Π — регулярная параметризация, где D — область изменения локальных координат (u, v) на поверхности Π. Будем изучать искривленность поверхности Π в точке r¯0 = r¯(u0, v0), исследуя кривизны лежащих на поверхности кривых, проходящих через точку r¯0. Пусть γ

— одна из таких кривых, заданная в локальных координатах уравнением u = u(s) , v = v(s) и параметризованная длиной дуги s. Вычислим кривизну

го вектора к поверхности Π. Коэффициенты этой квадратичной формы L := (¯ruu′′ , n¯), M := (¯ruv′′ , n¯) и N := (¯rvv′′ , n¯) зависят только от уравнения поверхности Π, но не от лежащей на поверхности кривой γ. С другой

стороны, ¯ , где — кривизна кривой в точке

(k, n¯) = kγ(¯r0) cos φ kγ(¯r0) γ

r¯0, а φ — угол между вектором главной нормали к кривой γ в точке r¯0

и нормалью к поверхности n¯. Формула (10.1) утверждает, что для всех кривых, лежаших на повехности Π, параметризованных натуральным параметром и проходящих через точку r¯0 в направлении вектора r¯u′ u˙ + r¯v′ v˙, произведение kγ(¯r0) cos φ постоянно и равно Lu˙2 +2Mu˙v˙ +Nv˙2. Выражение

Lu˙2 +2Mu˙v˙ +Nv˙2 называется второй квадратичной формой поверхности

Π и обычно обозначается так:

II = Lu˙2 + 2Mu˙v˙ + Nv˙2.

Получим вычислительно удобные формулы для коэффициентов второй квадратичной формы. Пусть ϕ — угол между векторами r¯u′ и r¯v′ . Тогда

(Напомним, что (¯a, b, c¯) — смешанное произведение векторов a,¯ b, c¯, а {gij}

— компоненты римановой метрики на поверхности Π, индуцированной евклидовой метрикой объемлющего трехмерного пространства.) Аналогичные вычисления дают формулы

p

g11g22 − g122

Вычислим проекцию вектора кривизны кривой на единичную нормаль к поверхности в случае произвольной параметризации кривой. Репараметризуя кривую длиной дуги s, получим уравнение кривой в виде r¯ = r¯(t(s)). Так как u˙ = u′t · t′s =

(r,¨¯ n¯) = Lu˙2 + 2Mu˙v˙ + Nv˙2 =

= L(u′t)2 + 2M u′tvt′ + N (vt′)2 . (s′t)2 (s′t)2 (s′t)2