Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДИФГЕМлекц

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2015

Размер:

987.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

∂2xi′

Дифференциальная геометрия и топология

нечетной перестановке нижних индексов и сохраняет свое значение при четной перестановке нижних индексов.

Замечание.Если k больше размерности пространства n, то кососиммет-

рический по нижним индексам тензор {T j1...jp} тождественно равен нулю

i1...ik

так как обязательно будет пара совпадающих индексов.

Определение 13.4. Внешней дифференциальной формой степени k на-

зывается кососимметрический тензор типа (0, k).

2. Ковариантное дифференцирование

То, что мы обсуждали до сих пор, называется тензорной алгеброй. Тензорный анализ должен включать в себя операции дифференцирования и интегрирования. Теория интегрирования — это теория интегрирования дифференциальных форм (кососимметрических тензоров). Она обобщает известную из курса математического анализа теорию кратных и поверхностных интегралов, и к сожалению на более детальное знакомство с ней у нас нет времени. Дифференцирование — более простая операция. Мы

начнем ее обсуждение со следующего вопроса:

n∂x

∂V i′

Будет ли набор частных производных

∂V

компонент векторно-

го поля {

}

∂V i

i′

∂xi′

∂xj′

тензорным полем?

Выясним, как связаны

в новой

системе координат с n

o. Так как V

V , то

∂xj

∂xi

∂V i′

∂ ∂xi′

∂xj

∂2xi′ ∂xj

∂xi′ ∂xj ∂V i

V i ·

V i +

(13.5)

∂xj′

∂xj

∂xi

∂xj′

∂xj∂xi

∂xj′

∂xi

∂xj′

∂xj

	i
Вывод. Набор производных	∂V	тензора типа (0,1) не является тен-
Вывод. Набор производных	j	тензора типа (0,1) не является тен-
	∂x

зором, так как при переходе в новую систему координат в формулах преобразования (13.5) возникает группа слагаемых, содержащих вторые производные координатных функций ∂xj∂xi .

Тем самым, возникает задача видоизменения операции дифференцирования так, чтобы производные тензорного поля снова формировали тензорное поле. Анализ формулы (13.5) приводит к мысли добавить к ∂V∂xji

92 О.В. Знаменская, В.В. Работин

слагаемое вида ΓijkV k таким образом, чтобы при переходе в новую систему координат возникали компенсирующие слагаемые, сокращающиеся

∂2xi′

∂xj V i. Посмотрим, как в этом случае должны преобразовываться

∂xj∂xi ∂xj′

функции Γi

. Нужно, чтобы выполнялось равенство

∂V i′

i′

k′

∂2xi′ ∂xj

i′ ∂xk′

∂xi′ ∂xj ∂V i

+ Γk′j′V

+ Γk′j′

∂xj′

∂xj∂xi

∂xj′

∂xk

∂xi

∂xj′

∂xj

∂V i

+ Γkji V k

∂xi′ ∂xj

. (13.6)

∂xj

∂xi

∂xj′

Откуда

∂xk′

∂xi′ ∂xj

∂2xi′ ∂xj

Γki′′j′

V k = Γkji

−

V k.

∂xk

∂xi

∂xj′

∂xk∂xj

∂xj′

Поскольку V k — произвольное векторное поле, то должно выполняться

равенство

i′ ∂xk′

i ∂xi′ ∂xj

−

∂2xi′ ∂xj

Γk′j′

= Γkj

∂xk

∂xi

∂xj′

∂xk∂xj

∂xj′

k′

Обычным образом, избавляясь от ∂x k , получаем искомую формулу пре-

∂x

образования

i′

i ∂xi′ ∂xj ∂xk

∂2xi′ ∂xj ∂xk

(13.7)

Γk′j′

= Γkj

−

∂xi

∂xj′

∂xk′

∂xk∂xj

∂xj′

∂xk′

Так мы приходим к следующему важному определению.

Определение 13.5. В области D задана аффинная связность, если с

каждой системой координат в D связан набор гладких функций Γijk , преобразующийся при замене координат по правилу (13.7). Функции Γijk

называются символами Кристоффеля или просто коэффициентами

аффинной связности.

Наличие аффинной связности в области D позволяет корректно определить не только операции дифференцирования векторных, но и ковекторных полей.

Дифференциальная геометрия и топология

Упражнение. Докажите, что для любого тензора {Ti} набор функ-

n	∂T i	o
ций	∂xj	− Γijk Tk образует тензорное поле типа (0,2).

Общее определение имеет следующий вид.

Определение 13.6. Пусть T = T i1...ip	— тензор типа (p, q) и Γi	—
j1...jq	jk

аффинная связность. Ковариантной производной T тензорного поля

T называется набор функций

i1...

1...

∂Tj1...

s,i ...

kTj1 jq

+ ΓskTj1 jq

+ · · · +

∂xk

i1...ip−1,s

i1...ip

(13.8)

+ ΓskTj1...

− Γj1kTs,j2...jq

− · · · − Γjk Tj1...jq−1,s

Часть утверждений следующей теоремы очевидна, другая часть будет доказана на практических занятиях.

Теорема 13.1. Операция ковариантного дифференцирования обладает следующими свойствами:

1)(αT + βU) = α T + β U, (линейность);

2)для любого тензора T типа (p, q) T — тензор типа (p, q + 1);

3) для скалярного поля f (тензора типа (0,0)) f =	∂f	= grad(f);
	∂xk
4) для ковариантной производной справедлива формулаn o		Лейбница:

для любых тензоров {TJI} и {ULK}

s(TJI · ULK) = ( sTJI) · ULK + TJI · ( sULK).

94	О.В. Знаменская, В.В. Работин

Лекция 14

Риманова связность.

Параллельный перенос

Определение аффинной связности и ковариантной производной. Закон преобразования коэффициентов связности при переходе в другую систему координат. Определение параллельного переноса. Теорема о существовании и единственности параллельного векторного поля. Риманова связность. Геодезические с точки зрения параллельного переноса. Свойства параллельного переноса.

1.Риманова связность

Впредыдущей лекции мы определили коэффициенты аффинной связности Γijk. Точно также обозначались коэффициенты, входящие в уравнения геодезических

Γjki

gis

∂gsr

∂gjs

−

∂gik

(14.1)

∂xj

∂xk

∂xs

Оказывается, это не случайно. Формулы (14.1) действительно определяют аффинную связность на римановом многообразии, обладающую специальными свойствами.

Определение 14.1. Римановой связностью или связностью, согласованной с римановой метрикой называется аффинная связность, коэффициенты которой вычисляются по формулам (14.1)

Упражнение. Докажите, что Γijk, вычисленные по формулам (14.1) при замене координат преобразуются по закону (13.7).

Доказательство следующей теоремы будет обсуждаться на практических занятиях.

Дифференциальная геометрия и топология

Теорема 14.1. Риманова связность обладает следующими свойствами

1)симметричность, Γijk = Γikj;

2)метрический тензор ковариантно постоянен, то есть, kgij = 0

для всех k, i, j;

3) свойства 1) и 2) — характеристические свойства римановой связности, т. е. коэффициенты симметричной аффинной связности, относительно которой метрика ковариантно постоянна, вычисляются по формулам (14.1).

2. Паралельный перенос

Теперь в нашем распоряжении есть все средства для анализа и обобщения на случай римановой геометрии древнего геометрического понятия — понятия параллельности. Недолгое размышление приводит к мысли, что это понятие в геометрии наполняется по меньшей мере двумя смыслами. Первый смысл связан с понятием параллельных прямых. Второй — с понятием операции параллельного переноса векторов (и множеств в пространстве). Если полагать, что понятие геодезической дает правильное обощение прямой, то вопрос о существовании на римановом многообразии непересекающихся геодезических — это вопрос о глобальном поведении геодезических; такие вопросы глобального характера в нашем курсе не изучаются, но для конкретных пространств, в которых мы могли описать все геодезические, мы ранее имели возможность это обсуждать.

Операция параллельного переноса — локальная, ее мы изучим достаточно подробно. По-видимому, первая попытка обобщения операции параллельного переноса с евклидовой плоскости на поверхности в R3 принадлежит Фердинанду Миндингу (1837 г.).6 Восемьдесят лет спустя Т. ЛевиЧивита (1917 г.), аналитически оформляя понятие параллельного переноса на поверхности, обнаружил, что эта операция зависит только от внутренней геометрии поверхности, то есть, от римановой метрики и это сразу дало возможность обобщить операцию параллельного переноса на лю-

6 Хорошее введение в этот круг идей можно найти в учебнике ??, с. 331–334.

96	О.В. Знаменская, В.В. Работин

бое риманово многообразие. Рекомендуем прочитать также замечательное неформальное обсуждение этой операции в приложениях к лекциям [10].

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве координаты вектора не меняются, то есть, их производные равны нулю. Поскольку мы хотим определить геометрическую, инвариантную операцию, то нужно обычные производные компонент вектора заменить на ковариантные производные. Так мы приходим к следующим определениям.

Определение 14.2. Пусть в области D заданы связность и гладкое

¯	i							i	(t)}.
векторное поле V (t) = {V		(t)} вдоль гладкой кривой γ : r¯ = r¯(t) = {x							(t)}.
Ковариантной производной γV				i	векторного поля		¯	вдоль кривой γ
Ковариантной производной γV					векторного поля		V	вдоль кривой γ
		n				o
называется векторное поле ∂x∂tj			· jV i .
Определение 14.3. Пусть	¯		{V		i	(t)} — гладкое векторное поле вдоль
Определение 14.3. Пусть	V (t) =		{V			(t)} — гладкое векторное поле вдоль

гладкой кривой γ : r¯ = r¯(t) = {xi(t)}. Это поле называется параллель-

ным вдоль кривой относительно связности , если ¯ ≡ .

γ γ(V ) 0

Если ¯ — параллельное векторное поле вдоль ≤ ≤ ,

V (t) γ: r¯ = r¯(t), a t b

то вектор	¯	называется также вектором, полученным в результате
	V (b)


параллельного переноса вектора		¯	вдоль γ.	Следующая теорема по-
		V (a)
¯	TaΠ может быть единственным образом
казывает, что всякий вектор V

перенесен параллельно вдоль заданной гладкой кривой с началом в точке a.

d	¯	TpD —
Теорема 14.2. Пусть — связность в области D R	, V0	TpD —

касательный вектор к D в точке p и γ: r¯ = r¯(t), a ≤ t ≤ b, r¯(a) = p —

гладкая кривая с началом в точке p. Тогда существует и единственно

такое параллельное векторное поле ¯ ¯ вдоль , что ¯ ¯ .

V = V (t) γ V (a) = V0

Доказательство. Имеем

Дифференциальная геометрия и топология

γV i = jV i

dxj

(14.2)

∂V i

+ Γjsi V s

dxj

(14.3)

∂xj

∂V i dxj

dxj

+ Γjki

V k(¯x(t)) =

(14.4)

∂xj

dV i(¯x(t))

dxj

+ Γjki

(¯x(t))

V k

(¯x(t)) = 0, i = 1, . . . , d

(14.5)

Таким образом, компоненты искомого векторного поля должны удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений (14.5) с переменны-

ми (гладкими) коэффициентами на и начальному условию ¯ ¯ .

[a, b] V (a) = V0

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что такая задача Коши имеет единственное решение на [a,b]. На нашем геометрическом языке это и означает возможность и единственность параллельного переноса.

Определение 14.4. Система (14.5) называется системой уравнений параллельного переноса вдоль кривой γ.

Наиболее приятными свойствами обладает операция параллельного переноса вектора в случае римановой связности.

Теорема 14.1. Пусть (D, ds2) —риманово многообразие и — римано-

ва связность в D. Если V (t) и

W (t) — параллельные векторные поля

вдоль гладкой кривой γ, то (V (t), W (t)) ≡ const вдоль γ.

Доказательство. Применим свойства ковариантной производной,

¯ ¯

∂(V , W ) dx

(V (t), W (t)) =

∂xj

dxj

= j((V , W ))

= j(gmnV mW n)dxj =

= (gmn j(V m)W n + gmnV m j(W n))dxj = 0.

98 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Мы воспользовались тем, что метрический тензор — ковариантно постоянный.

Следствие 14.1. a) При параллельном переносе вектора вдоль кривой на римановом многообразии длина вектора не меняется.

б) Угол между векторами двух параллельных векторных полей на римановом многообразии не меняется.

∂xi∂xj

∂xj∂xi

∂2f

Дифференциальная геометрия и топология

Лекция 15

Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана. Формула для тензора кривизны. Выражение тензора кривизны через компоненты римановой метрики. Симметрии тензора кривизны типа (0, 4). Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

Do not despair if the curvature tensor does not appeal to you. It is frightening for everybody.

M.Berger

Пусть D — область с заданной в ней аффинной связностью. Тем самым в D определена операция ковариантного дифференцирования тензорных полей, обобщающая на тензорные поля обычные частные производные скалярной функции. Из курса математического анализа хорошо известна

теорема о равенстве смешаных производных и гладкой функ-

ции f. Выясним, верен ли аналогичный факт для ковариантных производных. Сравним вторые ковариантные производные i jV k и j iV k

произвольного векторного поля	¯	= {V	k	}. Последовательно вычисляем:
	V

jV k = ∂V∂xjk + ΓkjsV s — тензор типа (1, 1), значит

i j

V k =

∂( jV k)

+ Γk (

V k)

−

Γs

(

V k) =

∂xi

∂2V k

∂Γjsk

∂V s

V s + Γjsk

+ Γisk

+ Γjps V p −

∂xi∂xj

∂xi

∂xj

∂V k

− Γijs

+ Γspk V p =

∂xs

∂2V k

∂Γjsk

∂V s

∂V k

V s + Γjsk

+ Γisk

+ Γisk Γjps V p − Γijs

− Γijs Γspk V p.

∂xi∂xj

∂xi

∂xj

∂xs

(15.1)

100 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Меняя местами индексы i и j, получим

∂2V k

∂Γisk

k ∂V s

k s

s ∂V k

s k

j iV

+Γis

+Γjs

+ΓjsΓipV

−Γji

−ΓjiΓspV

∂xj∂xi

∂xj

∂xi

∂xs

(15.2) Так как связность симметрична, то в формулах (15.1) и (15.2) имеется по 4 группы одинаковых слагаемых (кроме одинаковых первых слагаемых). Поэтому, вычитая из (15.1) формулу (15.2) и сокращая одинаковые слагаемые, получим

		∂Γk
i jV k − j iV k =		js	−
		∂xi
	∂Γk
=		js	−
	∂xi

∂xj

!V s + Γis

Γjp

− Γjs

Γip V

∂Γisk

(15.3)

+ Γip

Γjs

− Γjp

Γis

=: RsijV

∂xj

В последнем равенстве использовано обозначение

k		∂Γjsk		∂Γisk	k	p	k	p	(15.4)
Rsij	=		−		+ Γip	Γjs	− Γjp	Γis.
		∂xi		∂xj

Поскольку { i jV k − j iV k} — тензорное поле типа (1, 2), а {V k}

— тензорное поле типа (1, 0), то из доказываемой ниже теоремы следует, что {Rsijk } — тензорное поле типа (1, 3), которое называется тензором кривизны Римана типа (1, 3).

Теорема 15.1. Пусть {TKLIJ } — такой набор функций, что для любого тензорного поля {UJNLM } набор функций

SKNIM = TKLIJ UJNLM

образует тензорное поле. Тогда {TKLIJ } — тензорное поле.

Доказательство. В системе координат x′ имеем

I′M′ ∂xI′

∂xM′

∂xK ∂xN

I′J′

L′M

′

SK′N′ =

SKN

= TK′L′UJ′N′

∂xI ∂xM

∂xK′ ∂xN′

I′J′ ∂xL′ ∂xJ ∂xM′ ∂xN

= TK′L′

UJN

∂xL

∂xJ′

∂xM

∂xN′

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015475.65 Кб61Диплом Шевцов А. 7.doc
#
26.09.20191.07 Mб23Диплом. Туркова А..docx
#
04.06.2015616.48 Кб21диплом.docx
#
04.06.2015106.69 Кб11ДИПЛОМ.docx
#
04.06.20154.72 Mб863Диплом_пожарная_безопасность.doc
#
04.06.2015987.78 Кб17ДИФГЕМлекц.pdf
#
27.11.2019273.92 Кб4для всех.doc
#
07.09.2019454.66 Кб3для практики ан производства макеты 3кр.doc
#
04.06.201539.94 Кб62Дневник по преддипломной практики.doc
#
27.09.201936.14 Кб6Дневник проделанной работы.docx
#
27.09.201982.41 Кб6Дневник проделанной работы.docx