ДИФГЕМлекц
.pdfЗнаменская О.В.
Работин В.В.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ И
ТОПОЛОГИЯ
Конспект лекций
Красноярск
2007
Оглавление
Часть I. Основы топологии и дифференциальной
геометрии кривых и поверхностей |
|
5 |
|
Раздел 1. Основные понятия общей топологии |
|
6 |
|
Лекция 1. Понятие топологического пространства. |
|
|
|
Метрическая топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
||
Определение и простые примеры (6). Сравнение тополо- |
|
||
гий (10). Отделимость (12). Метрика (13). Топология в |
|
||
метрических пространствах |
(16) |
|
|
Лекция 2. Непрерывное отображение топологических пространств . |
19 |
||
Два определения непрерывного отображения |
(19). Приме- |
|
|
ры непрерывных отображений (21). Задачи о непрерыв- |
|
||
ных отображениях (23). Свойства непрерывных отобра- |
|
||
жений (24). Гомеоморфизм (26). Примеры гомеоморфных |
|
||
пространств (27) |
|
|
|
Лекция 3. Связность и компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
||
Определение и примеры связных пространств (29). Свой- |
|
||
ства связных пространств |
(30). Связная компонента |
|
|
(32). Линейная связность (33). Понятие компактности |
|
||
(34). Свойства компактных пространств |
(35). Крите- |
|
|
рий компактности подмножеств в Rn, (n < ∞) (36). |
|
||
Компактность метрических пространств (37) |
|
||
Раздел 2. Кривые и поверхности в Rd |
|
39 |
|
Лекция 4. Кривые в n-мерном пространстве. Кривизна кривой . . . . |
39 |
||
Лекция 5. Кривые в 3-мерном пространстве. Гладкие поверхности . . 44
Сопровождающий трехгранник Френе (44). Гладкие k- мерные поверхности в Rd (46)
Лекция 6. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Скалярное произведение на линейном пространстве (48).
Примеры римановых метрик (50)
Лекция 7. Основы римановой геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Длина кривой и угол между кривыми (53). Задача о локсодромии (54). Площадь поверхности (55)
Лекция 8. Расстояние на римановом многообразии.
Уравнения Эйлера-Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Геодезические (59). Простейшая задача вариационного исчисления (60)
Часть II. Геодезические, |
|
|
теория кривизны поверхностей |
|
|
и элементы тензорного анализа |
|
63 |
Лекция 9. Геодезические на римановом многообразии . . . . |
. . . . |
64 |
Лекция 10. Кривизна кривой на 2-мерной поверхности. |
|
|
Вторая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
68 |
Ориентация поверхности (68). Вторая квадратичная |
|
|
форма (69). Нормальная и геодезическая кривизны |
(71). |
|
Линии на поверхности (74) |
|
|
Лекция 11. Теоремы Эйлера и Гаусса . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
75 |
Гауссова и средняя кривизны. Теорема Эйлера (75). Дери- |
|
|
вационные формулы. Теорема Гаусса (78) |
|
|
Раздел 3. Элементы тензорного анализа |
|
82 |
Лекция 12. Криволинейные системы координат.
Тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
82 |
|
Системы координат (82). Тензорные поля (85) |
|
|
|
Лекция 13. |
Операции над тензорными полями . . . . . . . . . |
. . . . |
88 |
Алгебраические операции над тензорными полями |
(88). |
|
|
Ковариантное дифференцирование (91) |
|
|
|
Лекция 14. |
Риманова связность. |
|
|
Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
94 |
|
Риманова связность (94). Паралельный перенос (95) |
|
||
Лекция 15. |
Тензор кривизны Римана . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
99 |
Лекция 16. |
Теоремы Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 104 |
|
Теорема Гаусса (104). Теорема Гаусса–Бонне (105)
Лекция 17. Некоторые элементы современных представлений
о геометрии реального мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Литература |
112 |
Предметный указатель |
115 |
Часть I
Основы топологии и дифференциальной
геометрии кривых и поверхностей
Раздел 1. Основные понятия общей топологии
Лекция 1
Понятие топологического пространства.
Метрическая топология
Топологические пространства: определение, примеры (евклидова, Зариского, дискретная, антидискретная, относительная топологии). Замкнутые множества, их свойства. Окрестность, аксиомы отделимости, колмогоровские и хаусдорфовы пространства. Примеры. Метрические пространства, примеры. Метрическая топология.
1. Определение и простые примеры
Определение 1.1. Пусть X — произвольное множество и τ = {Uα}α A
— множество его подмножеств. Семейство τ определяет топологию
(топологическую структуру) на X, если оно удовлетворяет следующим
аксиомам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1) |
Само множество и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пустое множество |
при- |
|
τ, |
X τ; |
|
|
||||||
надлежат семейству τ. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2) |
Объединение |
любо- |
|
Uα τ U = α |
Uα |
|||||||
го числа множеств из τ |
τ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
||||||
есть множество из τ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(3) |
Пересечение конечно- |
1 |
, . . . , |
U |
m |
|
τ |
|
U |
= |
||
Um |
|
|
|
|
||||||||
го числа множеств из τ |
|
Uk τ. |
|
|
|
|
|
|||||
есть множество из τ. |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дифференциальная геометрия и топология |
7 |
Подмножества Uα называются открытыми в топологии τ.
Определение 1.2. Множество X с заданной в нем топологией τ, т.е. пара (X, τ) называется топологическим пространством X.
В дальнейшем, если ясно, о какой топологии идет речь, топологическое пространство (X, τ) будет обозначаться одной буквой X.
С понятием открытого множества тесно связано двойственное ему понятие замкнутого множества1.
Определение 1.3. Подмножество F X называется замкнутым в топологии τ, если его дополнение X \ τ открыто в τ.
X
X \ U
U
x
Рис.
1.1: если U
открыто в X, то
X \ U — замкнуто
Свойства замкнутых множеств нетрудно вывести
из аксиом открытых множеств и теоретико-мно- жественных результатов о дополнениях пересечений и объединений, согласно которым
α |
X \ Fα = X \ |
α |
Fα, |
α |
X \ Fα = X \ |
α |
Fα. |
\ |
|
[ |
|
[ |
|
\ |
|
Пример 1.1 (Естественная топология τR на R). В математическом анализе доказывается2, что всякое открытое множество на числовой прямой R
есть объединение конечного либо счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Из этого факта вытекает, что всякое замкнутое множество на прямой получается выбрасыванием из нее конечного либо счетного числа непересекающихся интервалов.
И в самом деле, вполне естественно, что интервал (a, b) вещественной прямой
1В силу двойственности открытых и замкнутых множеств, в определении топологии можно стартовать с замкнутых множеств, задавая аксиоматически их свойства, а множества, дополнительные к замкнутым, называть открытыми. Таким образом, все равно как вводить топологию: указанием совокупности открытых или замкнутых множеств.
2Доказательство приведено в кн. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
8 |
|
|
|
|
|
|
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
|
(−∞, a) |
a |
b |
|
(b, ∞) |
||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
[b, c] |
c |
|||
Рис. 1.2: примеры открытых |
|||||||
и замкнутых |
множеств на R |
||||||
является открытым, а отрезок [a, b] — замкнутым множеством. Описанная выше топология τR называется стандартной или естественной топологией на R.
Замечание 1.1. При рассмотрении множеств, открытых в естественной
топологии |
прямой, |
становится ясно, |
почему в аксиоме (3) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существенно |
требование |
ко- |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
R |
нечности пересечения. |
Дей- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствительно, |
пересечение бес- |
|||
-1 |
− |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
1 |
1 |
|||||||
|
|||||||||||||||
|
2 − |
3 |
−n |
n |
4 3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
Рис. 1.3: бесконечное пересечение интер- |
конечного |
числа открытых |
|||||||||||||
валов (−1/n, 1/n) замкнуто |
|
|
|
|
множеств может и не быть |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
открытым. |
|
|
|
Например, интервалы вида (−1/n, 1/n) на вещественной прямой открыты, а их пересечение, состоящее из одной точки {0}, не является открытым.
Согласно определению 1.1., чтобы превратить некоторое множество в топологическое пространство, достаточно указать, какие подмножества в
X будут считаться открытыми. Ясно, что в одном и том же множестве можно вводить разные топологии, превращая его тем самым в разные топологические пространства.
Легко выделить два крайних случая возможных совокупностей τ подмножеств в X: когда τ содержит все возможные подмножества множества
X, и когда τ не содержит никаких множеств, отличных от самого X. Оба эти семейства определяют топологии на любом непустом множестве X (выполнение аксиом (1) – (3) очевидно). Таким образом, сразу получается два примера топологических пространств, правда не очень интересных.
Дифференциальная геометрия и топология |
9 |
Пример 1.2 (Дискретная топология τd = {все подмножества X}). Пусть X
— произвольное множество. Будем считать открытыми все его подмножества. Пространство (X, τd) называется дискретным топологическим пространством.
Пример 1.3 (Тривиальная топология τt = { , X}). Пусть X — произвольное множество и τt состоит только из двух множеств — самого X и пустого множества. Полученное пространство (X, τt) можно назвать "пространством слипшихся точек". Топология τt крайне бедна открытыми множествами. Она называется тривиальной или антидискретной.
Приведем более интересные примеры топологических пространств.
Пример 1.4. Пусть X = {a, b} — множество, состоящее из двух точек. Пусть τ = {X, , {b}}. Нетрудно проверить выполнение аксиом (1) – (3). Пространство (X, τ) часто называют "связным двоеточием".
Пример |
1.5 (Топология конечных дополнений). Пусть |
τ |
состоит |
из |
||||||||||
X, |
и |
тех подмножеств X, дополнения которых конечны. Если |
||||||||||||
X |
само |
конечно, |
то это |
в точности дискретная топология на X. |
||||||||||
Если X бесконечно, то нужно проверить, что совокупность τ удо- |
||||||||||||||
влетворяет трем аксиомам |
топологии. Первая |
выполняется |
тривиально. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки второй предположим, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
что U1, U2 τ, так что X \U1 и X \U2 |
|||||||
|
A |
|
|
|
A |
|
конечны. Тогда (X \ U1) (X \ U2) |
|||||||
|
O |
|
|
O |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
тоже конечно, |
но |
оно равно |
|||||||
|
B |
|
|
|
B |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D |
|
|
|
D |
|
|
X \ (U1 ∩ U2) |
и, |
таким |
образом, |
||||
|
C |
|
|
|
C |
|
||||||||
X \ V τ |
|
V = {A, B, C, D, O} |
U1 ∩ U2 τ. Для проверки третьей |
|||||||||||
Рис. 1.4: открытые и |
замкну- |
аксиомы |
воспользуемся |
тем, |
что |
|||||||||
тые множества в топологии конеч- |
X \ |
|
Uj = |
|
|
|
|
|||||||
ных дополнений на плоскости |
j J |
j J |
(X \ Uj) . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
\ |
|
|
|
||
10 О.В. Знаменская, В.В. Работин
Пример 1.6 (Относительная топология на Y X). Пусть (X, τ) — топологическое пространство, Y X — фиксированное множество. Топология τ
естественым образом определяет |
топологию на подмно- |
|||
жестве Y |
следующим |
образом. |
|
|
Рассмотрим |
семейство |
подмно- |
|
|
жеств τY в Y : |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
τY = {V = U ∩ Y : U τ}. |
U2 |
U1 |
||
|
x Y |
По определению, в топологию τY |
Y |
|
|
входят подмножества из Y , кото- |
|
рые получаются пересечением Y |
Рис.1.5: относительная топология на |
с τ-открытыми (т.е. открытыми |
подпространстве Y X |
в топологии τ) подмножествами |
|
в X.
Покажем, что τY топология на Y . Очевидно, что Y = X ∩ Y τY ,= ∩ Y τY . Далее, пусть Vα τY , α A, т.е. Vα = Uα ∩ Y , где Uα τ. Теперь, так как Uα τ для α A, то
α A Vα = |
α A Uα ∩ Y |
= |
α A Uα |
∩ Y τY . |
[ |
[ |
|
[ |
|
|
|
|
|
|
Выполнение аксиомы (3) доказывается аналогично.
Топология τY на Y называется относительной топологией (или топологией, индуцированной из X с помощью τ), а подмножества пространства
X, наделенные относительной топологией, называются его подпространствами.
Замечание 1.2. Изучая топологические свойства подмножеств пространства Y X, необходимо указывать, относительно какой топологии (τ или
τY ) эти свойства рассматриваются. Так, например, полуоткрытый интервал (a, b] открыт на полупрямой (−∞, b], но не является открытым на всей прямой R.
2. Сравнение топологий