ДИФГЕМлекц

Итак: f : X → Y непрерывно V τY U = f−1(V) τX .

Поскольку прообраз f−1(Y \V) дополнения Y \V равен дополнению X \ f−1(V) прообраза f−1(V), из теоремы 2.1. сразу получается двойственная

к ней

Теорема 2.2. Для того, чтобы отображение f : X → Y топологического пространства (X, τX ) в топологическое пространство (Y, τY ) было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого замкнутого множества в Y был замкнут в X.

2. Примеры непрерывных отображений

Рассмотрим несколько простых примеров непрерывных отображений.

Пример 2.1. Для любого топологического пространства X = (X, τX ) тождественное отображение Id : X → X, определяемое формулой Id(x) = x, является непрерывным.

Пример 2.2. Для любых двух топологических пространств X = (X, τX ) и

Y = (Y, τY ) постоянное отображение p : X → Y , определяемое формулой p(x) = y0, где y0 — фиксированная точка в Y , является непрерывным.

Пример 2.3. Вложение i : Y ,→ X, i(x) = x, подпространства Y с индуцированной топологией также непрерывно.

Непрерывность указанных отображений проще всего проверять с помощью теоремы 2.1. Так, в примере 2.1. прообраз Id−1(U) всякого открытого множества U равен самому U и потому открыт. В примере 2.3 прообраз каждого открытого множества U X равен Y ∩ U и, значит, открыт в Y в

индуцированной топологии.

Большое количество содержательных примеров непрерывных отображений можно получить, обращаясь к функциям f : R → R, или, более общо, к отображениям f : Rn → Rm. Такие функции изучаются в курсе

математического анализа; при этом, как отмечалось в упражнении ??. и в переходе от определения 2.1. к определению 2.2., применяемое в анализе понятие непрерывности равносильно общему определению 2.3.

В различных математических дисциплинах часто приходится рассматривать вещественнозначные отображения, т.е. отображения вида f : X →

R. Такие отображения мы будем называть функциями на X. Приведем теперь нетривиальный пример функции, не являющейся непрерывной.

Пример 2.4. Функция f(x) = x2, определенная на множестве вещественных чисел R с естественной топологией (база которой — интервалы вида

(a, b)), непрерывна на R.

Введем теперь на множестве вещественных чисел R топологию

τ = { , {(−∞, x) : x R}},

превратив его тем самым в топологичеcкое пространство X = (R, τ), и определим функцию f : X → R тем же равенством f(x) = x2. Функция f не является непрерывной на X, поскольку f−1((−∞, y2)) = (−y, y) не принадлежит τ.

Пример 2.4. и упражнение ??. подчеркивают, что непрерывность отображения — свойство относительное, — оно зависит не только от способа задания отображения, но и от введенной во множествах топологической структуры. Рассмотрим крайние случаи.

Пример 2.5. Если в пространстве X введена дискретная топология τd, то любое его отображение в произвольное топологическое пространство Y

непрерывно в силу того, что прообраз любого подмножества из Y открыт в X. С другой стороны, если X — произвольное топологическое пространство, а (Y, τt) — пространство с тривиальной топологией, то любое отображение f : X → Y также непрерывно.

Множество непрерывных отображений

f : X = (X, τX ) −→ Y = (Y, τY )

обозначают символом C(X; Y ).

Анализируя предыдущие примеры, получим, что чем слабее топология τY и сильнее топология τX , тем больше в C(X; Y ) элементов (больше отображений являются непрерывными). Вместе с тем, независимо от выбранных топологий, в C(X; Y ) не меньше элементов, чем в Y (количество постоянных отображений).

3.Задачи о непрерывных отображениях

Втопологии и ее приложениях часто приходится решать задачи следующих трех типов.

Задача 1. Пусть X = (X, τX ) и Y = (Y, τY ) — топологические пространства, а f — отображение X → Y . Верно ли, что f C(X; Y )?

Эта задача рассматривалась выше для некоторых пространств и отображений. Для ее решения всегда требуется дополнительная информация о X, Y и f. Следующие две задачи можно решить без дополнительных предположений.

Задача 2. Пусть X = (X, τX ) — топологическое пространство, Y —

некоторое множество, а f — произвольное отображение из X в Y . Ввести на Y топологию так, чтобы f C(X; Y ).

Введем топологию на Y .

Объявим открытыми в Y те и только те множества U Y , прообразы f−1(U) которых открыты в X (включая и случай пустого прообраза). Проверим, что совокупность {U} образует топологию на Y .В самом деле, само Y и принадлежат {U} так как f−1(Y ) = X τX и f−1( ) = τX . Произвольное объединение α Uα множеств Uα {U} снова принадлежит

{U}. Действительно,

α= f−1 Uα τX

αα

всилу определения {U}, согласно которому каждое f−1(Uα) τX . Анало-

24 О.В. Знаменская, В.В. Работин

Итак, τY = {U} — искомая топология на Y .

Построенную топологию τY будем называть топологией, индуцированной отображением f.

Задача 3. Y = (Y, τY ) — топологическое пространство, X — некоторое множество, а f — произвольное отображение из X в Y . Ввести на X

топологию так, чтобы f C(X; Y ).

Зададим топологию τX на X, положив τX = f−1(U) U τY . Нетрудно убедиться, что система τX удовлетворяет аксиомам топологии. Очевидно, что f непрерывно как отображение топологических пространств

X = (X, τX ) −→ Y = (Y, τY ).

4. Свойства непрерывных отображений

Композиция непрерывных отображений непрерывна. Более точно, имеет место

Предложение 2.1. Пусть X, Y и Z — топологические пространства. Если f : X → Y и g : Y → Z — непрерывные отображения, то их

композиция h = g ◦ f : X → Z, определяемая формулой h(x) = g(f(x)), также непрерывна.

Доказательство. Сразу вытекает из теоремы 2.1., так как для всякого открытого множества U Z прообразы g−1(U) и h−1(U) = f−1(g−1(U))

открыты в Y и X соответственно.

Сужение непрерывного отображения непрерывно. Более подробно, справедливо

Предложение 2.2. Если f : X → Y — непрерывное отображение, X′ X

— подпространство с индуцированной топологией, то сужение f|X′ :

X′ → Y непрерывно.

ϕ доказывается в курсе математического анализа. Теперь, согласно предложению 2.1., для непрерывности h осталось доказать непрерывность ψ. Пусть B = Bε(x01, x02) — открытый шар в R2 с центром в точке (x01, x02) R2 радиуса ε. В “прямоугольной” метрике B представляет собой произведение γ1 × γ2 интервалов

γ1 = {x R : |x − x01| < ε} и γ2 = {x R : |x − x02| < ε}.

Поэтому ψ−1(B) = f−1(γ1)∩g−1(γ2) открыты, поскольку открыты прообразы f−1(γ1) и g−1(γ2) открытых множеств γ1 и γ2 при непрерывных отображениях.

Представляя произвольное открытое множество U R2 в виде объеди-

нения базисных шаров U = B(z), получим, что ψ−1(U) = ψ−1(B(z)) —

z U

открыто. Непрерывность отображения ψ установлена, что завершает доказательство предложения 2.4.

5. Гомеоморфизм

Сформулируем одно из важнейших определений.

Определение 2.5. Отображение f : X −→ Y топологического пространства X на топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно, т.е. если

1.f : X −→ Y — биекция;

2.f — непрерывно;

3.f−1 : Y −→ X — непрерывно.

Пространства X и Y при этом называются гомеоморфными.

Замечание 2.1. Условие 3) не зависит от условий 1) и 2). Чтобы убедиться в этом, достаточно на любом непустом множестве X ввести две топологии, одна из которых сильнее другой, и рассмотреть тождественное отображение Id : X −→ X. Например, пусть τd — дискретная, а τ — естественная

топологии на R. Тогда Id : (R, τd) −→ (R, τ) непрерывно, а обратное отображение Id−1 не является непрерывным.

Условия 2) и 3) о непрерывности f и f−1 вместе с критерием непрерывности 2.1. позволяют заключить следующее: при гомеоморфизме образы и прообразы открытых множеств также открыты, а значит f осуществляет взаимно однозначное соответствие между системами открытых множеств

X и Y . Итак, гомеоморфизм между двумя топологическими пространствами — это биекция как между точками, так и между топологиями этих пространств. Отсюда следует, что гомеоморфные пространства обла-

дают одними и теми же топологическими свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми. Например, если V — окрестность точки x X, то f(V) — окрестность точки f(x) Y ; если {Uα} — база топологии

τX , то {f(Uα)} — база топологии τY ; f(A) = f(A) и так далее.

Поэтому с топологической точки зрения гомеоморфные пространства можно рассматривать как два экземпляра одного и того же пространства.

6. Примеры гомеоморфных пространств

Пример 2.6. Отрезок [0, 1] и интервал (0, 1) в дискретной топологии гомеоморфны. Для доказательства достаточно построить взаимно однозначное соответствие между точками интервала и отрезка.

Пример 2.7. Интервал (−1, 1) и числовая ось R гомеоморфны. Действительно, функция y = tg (πx/2) : (−1, 1) −→ R, взаимно однозначно отображающая интервал (−1, 1) на всю числовую ось, непрерывна вместе с обратной функцией x = (2/π)arctg y.

Пример 2.8. Аффинное невырожденное преобразование пространства Rn

является гомеоморфизмом. Действительно, всякое такое отображение f :

Rn → Rn задается в виде y = Ax + b, где A = (aij) — невырожденная матрица (det (aij) ̸= 0). В курсе математического анализа доказыватся, что линейное отображение y = Ax + b : Rn −→ Rn является непрерывным, а из курса линейной алгебры известно, что это отображение допускает

обратное x = A−1y − A−1b, которое также линейно и потому непрерывно. Следовательно, f — гомеоморфизм.

Из последнего примера следует, что фигуры на плоскости или в n–

мерном пространстве, которые можно перевести друг в друга невырожденным линейным преобразованием (с помощью параллельного переноса, поворота вокруг точки, оси или плоскости, отражения, сжатия и т.д.), гомеоморфны. Так, например, окружность гомеоморфна эллипсу, сфера — эллипсоиду и т.д.

Пример 2.9. Любое изометричное (сохраняющее метрику) отображение метрических постранств является гомеоморфизмом. Обратное неверно.

Рассмотрим примеры.

1.Дискретное топологическое пространство, состоящее более чем из одной точки, несвязно, т.к. в нем любое подмножество открыто и замкнуто.

2.Отрезок [a, b] числовой прямой связен. Докажем это. Допустим, что

[a, b] = Φ1 Φ2, где Φi, i = 1, 2 — открыто-замкнутые непустые непересекающиеся подмножества. Без ограничения общности можно счи-

тать, что a Φ1. В силу открытости Φ1 найдется такое ε > 0, что [a, a + ε) Φ1. Пусть x = sup{a + ε : [a + ε) Φ1}. Из определения sup вытекает, что x — предельная точка для Φ1 и ввиду замкнутости Φ1 точка x Φ1. Единственной возможностью для x может быть только равенство x = b, т.к. в противном случае из-за открыто-

сти Φ1 не имело бы места равенство x = sup{a + ε}. Таким образом,

Φ1 = [a, b] и Φ2 = , что противоречит предположению.

3.Всякие интервалы (a, b), полуинтервалы [a, b) связны. Доказательство аналогично случаю отрезка.

4.Проколотый интервал (отрезок, полуинтервал) несвязен. Действительно, поколотый интервал имеет вид X = (a, b) \ {c}, где c (a, b).

2. Свойства связных пространств

Докажем несколько утверждений, помогающих выяснять связность топлогических пространств.

Теорема 3.1. Пусть M — связное подмножество топологического пространства X и M G1 G2, где G1, G2 открыты и G1 ∩ G2 = . Тогда

M полностью лежит в одном из множеств G1 или G2.