ДИФГЕМлекц

гаемые, кроме записанного в правой части равенства (15.5) равны нулю.

Исходя из тензора кривизны Римана типа (1, 3), можно построить несколько других геометрически важных тензорных полей.

Определение 15.1. Тензором кривизны Римана типа (0, 4) называется

тензорное поле

Rijkl := gisRjkls .

Определение 15.2. Тензором кривизны Риччи называется свертка тензора кривизны Римана по верхнему и второму нижнему индексам,

Rij := Risjs .

Определение 15.3. Скалярной кривизной R называется свертка тензора Риччи или полная свертка тензора кривизны,

R := gjsRjs = gjsRjpsp = gjsgipRijps.

Многие важные свойства тензора кривизны Римана типа (0, 4) легко следуют из формулы, доказываемой в следующей теореме.

Теорема 15.2. На римановом многообразии тензор кривизны {Rijkl} римановой связности выражается через метрику {gij} следующим образом

Так как мы проводим вычисления в фиксированной системе координат, то можно считать, что для каждой пары индексов (j, l), (j, l = 1, . . . , d), существует набор из d2 тензорных полей типа (1, 0), совпадающих в этой системе координат с {Γijl}, (j, l = 1, . . . , d). Тогда формула (15.7) есть ничто иное, как запись тензорного поля Rjkli через ковариантные производные:

Далее,

Rijkl = gipRjklp = gip kΓplj − gip lΓpkj.

Так как метрический тензор ковариантно постоянен ( kgip = 0), а ковариантная производная коммутирует со сверткой и для нее справедлива формула Лейбница при дифференцировании произведения тензорных полей,

Теперь, чтобы получить (15.6), нужно в (15.9) поменять местами k и l и

вычесть получившуюся формулу из (15.9).

Следствие 15.3. Тензор кривизны римановой связности типа (0, 4) обладает следующими свойствами симметрии:

Доказательство. Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (15.6), 3) следует из 1) и 2).

Следствие 15.1. На двумерной поверхности тензор кривизны римановой связности типа (0,4) имеет только одну "существенную"компоненту

R1212, все остальные 15 компонент либо равны 0, либо совпадают с R1212, либо отличаются от R1212 знаком.

Доказательство. По следствию 15.3

R1212 = −R2112 = −R1221 = R2121.

У всех остальных компонент будет совпадение индексов либо на местах 1, 2, либо на местах 3, 4, значит, они равны 0, ввиду кососимметричности

Rijkl.

Лекция 16

Теоремы Гаусса

Теорема Гаусса об инвариантности гауссовой кривизны при изгибании 2-мерной поверхности. Теорема Гаусса-Бонне.

1. Теорема Гаусса

Теорема 16.1. (Theorema egregium Гаусса) Гауссова кривизна K двумерной поверхности может быть выражена только через риманову метрику поерхности, поскольку K = 12R, где R — скалярная кривизна поверхности.

Доказательство. Установим требуемое равенство в произвольной, но фиксированной точке p поверхности Π. Как во многих геометрических заачах, успех в решении тесно связан с выбором удобной системы координат. Поэтому, поместим начало координат O в точку p, ось Oz направим по нормали к Π, тогда оси Ox и Oy будут лежать в касательной плоскости T0Π

к поверхности Π. Следовательно, в достаточно малой окрестности точки

O поверхность Π может быть задана в виде графика гладкой функции,

Π : z = f(x, y). Последовательно вычисляем

r¯ = (u, v, f(u, v)), r¯u′ = (1, 0, fu′ (u, v)), r¯v′ = (0, 1, fv′(u, v)), r¯uu′′ = (0, 0, fuu′′ (u, v)), r¯uv′′ = (0, 0, fuv′′ (u, v)), r¯vv′′ = (0, 0, fvv′′ (u, v)).

Откуда

ds2 = (1 + fu′2)du2 + 2fu′ fv′dudv + (1 + fv′2)dv2.

Так как fu′ (0, 0) = fv′(0, 0) = 0 ввиду выбора системы кординат ( r¯u′ |0 = (1, 0, 0), r¯v′ |0 = (0, 1, 0)), то ds2|0 = du2 + dv2. Значит, II|0 = fuu′′ (0, 0)du2 +

2fuv′′ (0, 0)du dv + fvv′′ (0, 0)dv2, поэтому гауссова кривизна в точке 0 равна

K = (fuu′′ fvv′′ − fuv′′ 2).

Вычислим R1212(0, 0). Заметим, что коэффициенты связности Γijk =

в нуле все равны 0, так как для всех i и j частная производная состоит из одного или двух слагаемых, в каждое из которых входит множителем либо fu′ , либо fv′, равные 0 в 0. Аналогичная картина для ∂g∂vij . Поэтому

=12(2((fu′ fv′)′u)′v − ((fu′ )2)′′v2 − ((fv′)2)′′u2 )|0 =

=12(2(fu′′2 fv′ + fu′ fuv′′ )′v − 2(fu′ fuv′′ )′v − (fv′fuv′′ )′u)|0 =

=(fu′′2 fv′′2 + (fuv′′ )2 − (fuv′′ )2 − (fuv′′ )2)|0 = K(0).

Наконец,

R(0) = gipgjqRijpq|0 = δipδjqRijpq(0) = R1212(0) + R2121(0) = 2K(0)

2. Теорема Гаусса–Бонне

The proof of the Gauss–Bonnet theorem is never simple; in fact it is subtle and tricky.

M.Berger

Пусть D — гомеоморфная кругу область на гладкой поверхности Π, ограниченная кусочно-гладкой кривой γ. Будем считать поверхность Π ориентированной в окрестности D и согласуем направление обхода γ с

этой ориентацией, то есть, при обходе границы γ в этом направлении с той стороны, куда направлена ориентирующая нормаль, область D остается слева. Обозначим через γ1, . . . , γm — регулярные звенья границы γ,

α1, . . . , αm — внутренние углы (относительно D), которые образуют звенья

(γ1, γ2), . . . , (γm, γ1) в точках соединения. В этих обозначениях справедлива

Теорема 16.2. (Гаусс–Бонне) Если kg(s) — геодезическая кривизна кривой γ, K(p) — гауссова кривизна поверхности Π в точке p, то

p

где dσ = det gij du dv — элемент площади поверхности.

Доказательство этой теоремы замечательно изложено в лекциях [9]. Обсудим некоторые важные следствия этой теоремы.

Лекция 17

Некоторые элементы современных

представлений

о геометрии реального мира

Лоренцева геометрия. Гравитация как искривление пространства. Уравнения Эйнштейна.

Идеи римановой геометрии оказали решающее влияние на создание одной из самых известных физических теорий 20 века — теорию относительности. Эта теория излагается во многих книгах разного уровня сложности. Для более детального ознакомления с этой замечательной теорией мы рекомендуем прочитать соответствующие страницы в [12], которым мы здесь следуем, (см. также классическое изложение в [15]). Здесь мы кратко опишем основные математические понятия этой теории.

Прежде всего пришлось обобщить понятие евклидовой структуры на линейном пространстве.

Определение 17.1. Псевдоевклидовым пространством называется линейное пространство X с заданной на нем невырожденной билинейной формой, определяющей псевдоевклидову (индефинитную) метрику на

X. Говорят, что метрика имеет тип (p, q) (или сигнатуру (p, q)), если соответствующая квадратичная форма, приведенная к диагональному виду, имеет p квадратов с положительными коэффициентами, а q — с отрицательными.

Пример 17.1. Определим "скалярное произведение"в R4 формулой

(x, y) = (x1, y2) − (x2, y2) − (x3, y3) − (x4, y4).

Тем самым на R4 определена псевдоевклидова метрика сигнатуры (1, 3). Эта метрика называется метрикой Минковского а R4, наделеннре этой

метрикой называется пространством специальной теории относительности. Также как и в случае риманова многообразия, псевдоевклидова метрика может зависеть от точки пространства.

Определение 17.2. Если в каждом касательном пространстве TpD к

области D задана псевдоевклидовая метрика сигнатуры (p, q), гладко зависящая от точки p, то говорят, что в D задана лоренцева метрика, а саму область D будем называть лоренцевым многообразием.

Если в D действует система координат x¯ = (x1, . . . , xn), то в этих координатах лоренцева метрика представляется в виде тензорного поля типа (0, 2){gij(x)}, причем det(gij(x)) ̸= 0 для всех x. Поэтому все связанные с метрикой конструкции тензорного анализа — поднятие и опускание индексов, согласованная с метрикой ковариантная производная, тензор кривизны

— переносится на случай лоренцевых многообразий.

Рассмотрим псевдоевклидово пространство Rnp,q, p+q = n, которое определяется как пространство с координатами x1, . . . , xn, в которых “квадрат длины” вектора ξ = (ξ1, . . . , ξn) задается формулой

pq

XX

При n = 4, p = 1 получаем пространство-время специальной теории относительности (пространство Минковского R41,3 = R41) с координатами x0, x1, x2, x3; обычно полагают x0 = ct, где постоянная c — скорость света в пустоте. Пространства Rn1,n−1 = Rn1 мы также будем называть пространствами Минковского (размерности n).

Квадрат длины вектора ξ = (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3) в пространстве R41 задается формулой

Величина (ξ, ξ) может быть и положительной, и отрицательной, и даже нулем. Векторы ξ, для которых |ξ| = 0, образуют в пространстве R41 конус, называемый изотропным или световым конусом Векторы, лежащие внутри конуса, имеют положительный квадрат длины, |ξ|2 > 0, и называются

В специальной теории относительности величина l/c называется собственным временем, прожитым частицей. Параметр l является натуральным параметром на мировой линии.

Если точка движется в трехмерном пространстве с постоянной скоростью v = (v1, v2, v3), т. е.

где мы используем сокращенное обозначение v2 = |v|2.

В частности, x0/c есть собственное время покоящейся частицы (в ис-

ходной системе координат).

Основная гипотеза общей теории относительности Эйнштейна (ОТО) такова: гравитационное поле есть просто метрика gij сигнатуры (1, 3) в

четырехмерном пространстве-времени M4 с координатами (x0, x1, x2, x3); при этом метрика gij, вообще говоря, имеет ненулевую кривизну (величина кривизны и характеризует степень нетривиальности гравитационного поля). Пробная частица во внешнем гравитационном поле — это просто “свободная частица в пространстве с метрикой gij”, которая движется по времениподобной геодезической γ(τ) = {xi(τ)}, задаваемой лагранжианом

Если m = 0, то частица движется по световой геодезической в метрике gij. Собственное время вдоль линии γ(τ) — это cl = τ, dlc = dτ, |v| = const. Рассмотрим теперь гравитационное поле (gij), т. е. метрику сигнатуры (1, 3) в области четырехмерного пространства, где нет никаких других полей и частиц. Мы примем гипотезу, что теория гравитационного поля должна быть, как говорят, “общековариантной”, т. е. уравнения самого гравитационного поля должны иметь одинаковый вид во всех системах координат и выражаться через тензор кривизны Rijkl метрики gij. Не входя