Данные, полученные с использованием регрессионной модели

 

*) Вычислены ранее без регрессионных формул

 

Оценка результатов регрессии. Вычисленные параметры  и  регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями доходности рыночного портфеля  и доходностью  оцениваемой акции. Однако величины  и  не позволяют давать однозначный ответ остепени подобной взаимосвязи. Точность регрессионной модели, степень взаимосвязи  и  определяется разбросом случайных ошибок , который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки . Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию  доходности ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Чуть ниже будет показано, что дисперсию i-ой ценной  бумаги  можно представить в виде двух слагаемых:

 

 = 

 

Как видим, первое слагаемое свидетельствует, что часть риска i-ой ценной бумаги определяется нестабильностью самого рынка, поскольку туда входит  - дисперсия рыночной доходности r_m. Второе же слагаемое  показывает, что в суммарном риске ценной  бумаги  присутствует и  собственная  доля,  не зависящая от колебаний рынка.

Разделим обе части равенства  =  на величину :

 

 

Обратим внимание, что в этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в суммарном риске ценной бумаги  можно описать с помощью регрессионной модели = , а второе слагаемое - степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина  к единице, тем более точная регрессионная модель.

           - это квадрат коэффициента корреляции . Именно квадрат коэффициента корреляции  является мерой оценки точности линейной регрессии, то есть мерой того,  насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных  и . 

Вычислим величину  для акций "А", "В" и "С", вспомнив ранее вычисленные значения ; ; :

 

 

 

 

Эти данные свидетельствуют, что лучше всего линейная регрессия описывает поведение акций компании "А", так как величина  ближе к единице, чем для других компаний. Для компании "С" использование выбранного индекса РЦБ при составлении линейной регрессионной модели не оправданно, так как только 6% (0,0598) изменений ее доходности можно связать с колебаниями рынка.

 

Использование модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей.

В основу модели Шарпа  положена  линейная регрессия. Для применения модели Шарпа необходимо предварительно ввести ряд условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг,  то будем считать, что:

1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок = 0 для всех акций портфеля, то есть для i=1,2,...,n.

2) Дисперсия  случайных  ошибок  для каждой ценной бумаги постоянна.

3) Для  каждой акции портфеля отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N шагов расчета величинами случайных  ошибок, то есть E[  ]= 0 (t=1,2,...,N).

4) Отсутствует корреляция между  случайными  ошибками  любых двух ценных бумаг в портфеле, иначе говоря, E[  ]=0.

5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками  и рыночной доходности, то есть  = 0.

 

Определение доходности и риска отдельной акции портфеля. Используя эти упрощения, можно получить выражения E(r_i),   и _i,j для любых акций в портфеле:

 

 = +  

 =    + 

 =   

 

необходимые для построения границы  эффективных портфелей.  При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений , n величин ,  nзначений , а также  и . Следовательно, всего потребуется найти: (n+n+n+2)=3n+2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица. Например, при формировании портфеля из 30 ценных бумаг для определения границы эффективных  портфелей надо 3×30+2=92 начальных данных по модели Шарпа и 495 (в 5 раз больше!) по модели Марковица.

Сокращение объема вычислений в модели Шарпа происходит потому, что все парные ковариации  между доходностями ценных бумаг в портфеле предполагаются равными нулю. А чтобы отразить взаимное влияние риска одной ценной бумаги на риск другой  ценной бумаги, Шарп предложил свести эти ковариационные эффекты к взаимосвязи ценных бумаг портфеля с каким-то рыночным индексом, например, S&P500. Иначе говоря, корреляция между доходностями ценных бумаг в портфеле выражается с помощью рыночного индекса.

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля. Как установлено,  ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

 

 

          где  -  вес  каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение  из формулы  = +  :

 

 =  [ +  ]

 

Выделим в этом равенстве слагаемые, на которые не оказывает воздействие изменения рынка, и которые зависят от рыночных показателей:

 

 =   + (   ) 

 

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный портфель в качестве условной (n+1)-ой акции портфеля.  В таком случае,  второе слагаемое  уравнения =   + (   )   можно представить в виде:

 

(   ) =  ( ) , где:

 =   

 ( ) = 

 

При этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности:  = . Выражение  =    представляет собой сумму  взвешенных  величин "беты" ( ) каждой ценной бумаги (где весом служат ) и называется портфельной бетой ( ). 

С учетом выражений учетом выше сказанного формулу ожидаемой доходности портфеля можно записать так:

 

 = 

 

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров  каждой  ценной  бумаги – W₁₁+W₂₂+...+W_n_n, что отражает вклад в E(rn) самих ценных бумаг, и

б) компоненты  W_n+1_n+1=(   ) ,  то есть произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

 

Дисперсия портфеля. Как известно, дисперсию портфеля можно представить в виде:

 

 =    +    

 

Если вместо значений  и  подставить сюда выражения:

 

 =   + 

 =   

 

провести соответствующие вычисления и воспользоваться условиями (n+1) акции, то можно показать, что дисперсия портфеля представляется в виде:

 

 =   

 

При этом только необходимо иметь в виду, что W_n+1 =   , то есть (W_n+1) =(W₁₁+W₂₂+...+W_n_n) , а  = . Значит, дисперсию портфеля,  содержащего n акций, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий  ошибок    ,  где  весами служат ,  что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б)   - взвешенной величины дисперсии доходности рыночного портфеля ,  где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля,  определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).

 

Исходя из изложенного, можно аналогично тому, как это делалось в предыдущей части, показать, что с увеличением числа ценных бумаг в портфеле первая часть риска портфеля (   ) будет стремиться к нулю. Поэтому диверсификация портфеля  приводит к уменьшению риска, связанного с нестабильностью самих ценных бумаг, оставляя лишь компоненту  ,  зависящую от нестабильности самого рынка.

 

Формулирование цели инвестора в модели Шарпа. В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля:

 

 

 

при следующих начальных условиях:

 

 

 

 

 

Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить  исторический  промежуток в N лет, за который будут наблюдаться значения доходности  каждой ценной бумаги.

2) По рыночному индексу (например,  РТС) вычислить рыночные доходности  для того же промежутка времени.

3) Найти величины  и :

 =     

 

4) Вычислить дисперсии  ошибок регрессионной модели.

5) Решить с применением методов линейной алгебры задачу построения границы эффективных портфелей.

 

Рассмотрим пример построения границы эффективных портфелей, состоящих из акций "А", "В" и "С". Итак, задача инвестора в этом случае сводится к следующему: необходимо минимизировать выражение:

 

 

 

при следующих начальных условиях:

 

 

Подставим вычисленные ранее значения , , ,  и  в эти выражения:

 

 

 

 

 

Для нахождения весов ценных бумаг  необходимо предварительно составить полином Лагранжа:

 

 

          где Г₁,Г₂,Г₃ - множители Лагранжа.

 

Затем берутся 7 частных производные полинома L по каждой из семи неизвестных W₁,W₂,W₃,W₄, а также Г₁,Г₂,Г₃ и приравниваются к нулю:

 

 = 0,0146?W_a + 0,2494?Г₁ + Г₂ ? 0,9787?Г₃ = 0

 = 0,0271?W_b ? 0,0117Г₁ + Г₂ + 0,9470?Г₃ = 0

 = 0,0756?W_c + 0,1165?Г₁ + Г₂ + 0,5256?Г₃ = 0

 = 0,0156?W₄ + 0,1475?Г₁ ? Г₃ = 0

 = 0,2494?W_a ? 0,0117?W_b + 0,1165?W_c + 0,1475?W₄ ? * =0

 = W_a + W_b + W_c = 0

 = ?0,9787?W_a + 0,9470?W_b + 0,5256?W_c ? W₄ = 0

 

В матричной форме эти семь уравнений записываются в виде:

 

 

Представим это в виде матричного уравнения:

 

 

Чтобы найти веса  необходимо вычислить на компьютере матрицу , обратную матрице Т, и решить уравнение: , то есть каждую строку обратной матрицы умножить на столбец Е.

 

Решение этой задачи дает следующие результаты:

 

W_А = ?8,27683?E* + 1,53921

W_В = ?3,98884?E* + 0,86352

W_С = 12,26567?E* ? 1,40273

W₄ = 10,76503E* ? 1,42538

 

Веса для MVP портфеля вычисляются путем нахождения обратной матрицы , где  - матрица без пятой строки и пятого столбца, соответствующих ограничению E*.

С использованием выражений для весов акций портфеля инвестор в состоянии построить границу эффективных портфелей, а затем определить оптимальный портфель.

 

Сравнение результатов модели Шарпа и Марковица. Модели Марковица и Шарпа дают различные выражения для весов ценных бумаг в эффективных портфелях, сформированных из одних и тех же акций "А", "В" и "С" при одинаковых начальных условиях.

При этом следует иметь в виду, что поскольку модель Шарпа является приблизительной, то вычисленные значения дисперсии портфеля менее точные, чем полученные с использованием модели Марковица, то есть портфели в модели Марковица имеют всегда более низкие значения дисперсии,  чем портфели, созданные по модели Шарпа.  Тем не менее, эта разница не очень велика, поэтому можно считать, что модель Шарпа является удачным приблизительным вариантом построения эффективных портфелей. 

 

При изучении темы необходимо читать:

Базовое учебное пособие:

1. Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф., Петров В.С.. Инвестиционное дело: учеб. /  В.М. Аскинадзи, В.Ф. Максимова, В.С. Петров. - М.: Маркет ДС, 2010. – 512с. (Университетская серия).

 

Основная литература:

1. Бланк И.А. Управление инвестициями предприятия. – К.: Ника-Центр, Эльга, 2003. – 480с. – («Энциклопедия финансового менеджмента»; Вып. 3).

2. Шарп У.Ф., Александер Г.Д., Бэйли Д.В. Инвестиции. / У.Ф. Шарп, Г.Д. Александер, Д.В. Бэйли - М.: Инфра-М, 2009. – 1027с.

 

Дополнительная литература:

1. Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф. Портфельные инвестиции / Московская финансово-промышленная академия. - М., - 2005. – 62с.

2. Бродский М.Н., Бродский Г.М. Право и экономика: инвестиционное консультирование. - СПб.: Б.И., 1999. - 488с.

3. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг. / А.Н. Буренин. – М.: Научно техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008. – 440с.

 

Интернет-источники:

1.  http://www.cfin.ru/

2.  http://www.finam.ru/

3.  http://www.pro-invest.com/

4. http://www.rbc.ru/

 

Ответить на вопросы:

1.  Какие два параметра используются в модели Г. Марковица для оценки инвестором эффективности вложения денег в портфель акций?

2.  Что понимается под термином «эффективный рынок» в контексте модели Г. Марковица?

3.  Оптимальный портфель одинаков для всех инвесторов. Вы согласны?

4.  Можно ли риск портфеля выразить посредством стандартного отклонения?

5.  Что в конечном итоге требуется найти при оптимизации инвестиционного портфеля методом Марковица?

6.  Какие величины связывает между собой регрессионная модель У. Шарпа?

7.  Верно ли утверждение, что коэффициент α может свидетельствовать о степени чувствительности доходности конкретной акции к изменениям рынка?

8.  Что означает величина коэффициента β?

9.  Является ли дисперсия случайной ошибки величиной, равно нулю? единице?

10.   Что подразумевается под «n + 1» акцией в теории Шарпа?