Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT5

Лекция 5. Прямая на плоскости (продолжение). Плоскость в пространстве

Как написать уравнение прямой? Мы рассмотрим три случая.

(1)Уравнение прямой `, проходящей через заданную точку A = (x0; y0) c заданным нормальным вектором n¹ = (a; b) имеет вид: ` : a(x ¡ x0) + b(y ¡ y0) = 0.

(2)Уравнение прямой `, проходящей через заданную точку A = (x0; y0) c заданным направляющим

вектором (т.е. с вектором, параллельным прямой) v¹ = (c; d) имеет вид:

` : d(x ¡ x0) ¡ c(y ¡ y0) = 0

(действительно, нормальный вектор (d; ¡c) прямой ` перпендикулярен вектору v¹).

(3)Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A = (x1; y1) и B = (x2; y2) имеет вид

`: (x ¡ x1)(y2 ¡ y1) ¡ (y ¡ y1)(x2 ¡ x1):

Всамом деле, подстановка координат точек A и B в уравнение прямой превращает их в тождества.

Для того, чтобы написать уравнение биссектрисы AE, найдем ее направляющий вектор. Рассмотрим вектора единичной длины u¹ = AB=jABj и w¹ = AC=jACj. Их сумма и является направляющим вектором:

Как найти расстояние от точки до прямой? Точнее, пусть прямая ` задана уравнением ax + by + c = 0, и известны координаты точки A: x1 и y1. Чему равно расстояние d(A; `) от A до `?

Предложение.

Доказательство. Рассмотрим на ` две точки B = (¡c=a; 0) и C = (0; ¡c=b). Координаты этих точек получаются при подстановке в уравнение прямой сначала y = 0, а потом x = 0.

На рисунке AH это перпендикуляр, опущенный из A на `, длина AH равна d(A; `). Площадь S параллелограмма, построенного на векторах BA и BC равна произведению BC ¢AH. Но S равна модулю определителя

1

¤

Обсудим задачу о центре окружности, вписанной в данный треугольник. Пусть нам дан 4ABC: A(¡2; ¡1), B(2; 4), C(6; 1). Обозначим центр вписанной окружности через O. Пусть координаты точки O равны (a; b). Найдем уравнения сторон:

AB : 5x ¡ 4y + 6 = 0; AC : x ¡ 4y ¡ 2 = 0; BC : 3x + 4y ¡ 22 = 0:

Точка O является центром вписанной окружности, если d(O; AB) = d(O; AC) = d(O; BC). Это дает нам систему из двух уравнений:

>

Эта система не является линейной. Однако, удаляя знаки модулей ее можно превратить в линейную. В первом уравнении знаки модулей можно удалить двумя способами и во-втором тоже двумя. Таким образом, наша система порождает 4 линейные системы. Так и должно быть, потому что имеется четыре точки, которые равноудалены от сторон треугольника: центр вписанной окружности и центры трех вневписанных окружностей.

Однако, нетрудно выбрать линейную систему из этих четырех, решением которой и будут координаты центра вписанной окружности. Это делается так. Рассмотрим число fAB(O) = 5a ¡ 4b + 6 и найдем его знак. Точка C находится по ту же сторону от прямой AB, что и точка O, следовательно, знаки чисел fAB(O) и fAB(C) совпадают. Но fAB(C) = 32 > 0, значит 5a¡4b+6 > 0. Аналогично находим, что fAC(O) = a¡4b¡2 < 0

которое мы будем называть общим уравнением плоскости. На коэффициенты a; b; c уравнения накладывается ровно одно условие: они не могут все одновременно быть равными нулю.

Как и в случае прямой, мы связываем с уравнением плоскости ¦ вида (1) его нормальный вектор n¹ с координатами (a; b; c).

Предложение. Уравнение (1) задает плоскость, перпендикулярную вектору n¹.

Доказательство. Доказательство совершенно аналогично доказательству соответствующего утверждения о прямой на плоскости. ¤

Замечание. С уравнением плоскости ¦ : ax + by + cz + d = 0 мы связываем функцию точки в пространстве f¦(A) = ax + by + cz + d, где (x; y; z) координаты точки A. Как и в случае прямой на плоскости, знаки чисел f¦(A) и f¦(B) совпадают в том и только том случае, когда точки A и B находятся по одну сторону от плоскости ¦.

Если

¦1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и ¦2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0

две плоскости, то

²¦1jj¦2 , n¹1 коллинеарен n¹2.

²¦1?¦2 , n¹1?n¹2.