Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT3
.pdf
Лекция 3. Векторы в трехмерном пространстве.
Вектор a¹ в трехмерном пространстве имеет три координаты. Скалярное произведение определяется
¹ ¹ ¹
точно также, как и на плоскости: (¹a; b) = ja¹j ¢ jbj ¢ cos ', где ' угол между векторами a¹ и b. Выведем формулу для косинуса угла между векторами, а затем формулу для вычисления скалярного произведения в координатах.
¹
Предложение. Пусть (a1; a2; a3) координаты вектора a¹ и (b1; b2; b3) координаты вектора b. Тогда
cos(') = a1b1 + a2b2¹+ a3b3 : ja¹j ¢ jbj
¹
Доказательство. Рассмотрим треугольник, образованный векторами a¹ и b. Тогда третья сторона тре-
¹
угольника это вектор c¹ = a¹ ¡ b. Теорема косинусов дает нам равенство:
(a1 ¡ b1) |
2 |
+ (a2 ¡ b2) |
2 |
+ (a3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
¹ |
|
|
¡ b3) |
= a1 |
+ a2 |
+ a3 |
+ b1 |
+ b2 |
+ b3 |
¡ 2 ¢ ja¹j ¢ jbj cos('): |
|||
Теперь приведение подобных и сокращение дает нам требуемую формулу. |
¤ |
|||||||||||
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. (¹a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Достаточно подставить формулу для косинуса в определение скалярного произведения.
¤
Коллинеарные векторы определяются точно также, как и в плоском случае. Но в трехмерном пространстве более важным является понятие компланарности.
1. Компланарные векторы
¹
Определение 1. Три вектора a¹, b и c¹ в трехмерном пространстве компланарны, если они параллельны одной плоскости. При этом мы будем придерживаться следующего соглашения: три вектора всегда компланарны, если среди них есть нулевой.
¹ ¹
Замечание. Следует отметить, что если два вектора (например, a¹ и b) коллинеарны, то вектора a¹, b и c¹ компланарны. Доказательство критерия компланарности значительно труднее, чем доказательство критерия коллинеарности в плоском случае.
¹ ¹ ¹
Мы будем рассматривать единичные векторы, направленные по осям координат. Это векторы i, j и k.
¹
Определение 2. Три некомпланарных вектора a¹, b и c¹ образуют тройку, если задан их порядок (т.е. какой
¹
вектор первый, какой второй и какой третий). Тройка обозначается так fa;¹ b; c¹g. Тройка называется пра-
¹
вой, если глядя с конца вектора c¹ (последнего вектора тройки) на плоскость векторов a¹ и b мы видим,
¹
что кратчайший поворот от a¹ (первого вектора тройки) к b (второму вектору тройки) происходит против часовой стрелки. Если этот поворот происходит по часовой стрелке, то тройка называется левой.
Замечание. В трехмерном пространстве мы не можем определить направление поворота от вектора a¹ к
¹ ¹ ¹
вектору b. Например, кратчайший поворот от i к j происходит против часовой стрелки с точки зрения
¹
вектора k (глядя из точки на оси OZ с z-координатой 1), но происходит по часовой стрелке с точки
¹
зрения вектора ¡k (глядя из точки на оси OZ с z-координатой ¡1). Таким образом, роль вектора c¹ в
¹
тройке fa;¹ b; c¹g это роль „точки зрения\.
¹
Пример. Если есть три некомпланарных вектора a¹, b и c¹, то их можно организовать в 6 троек:
¹ |
¹ |
¹ |
|
¹ |
|
¹ |
¹ |
fa;¹ b; c¹g; fa;¹ c;¹ bg; fb; a;¹ c¹g; fb; c;¹ a¹g; fc;¹ a;¹ bg; fc;¹ b; a¹g: |
|||||||
|
|
|
|
¹ ¹ ¹ |
|
|
|
Найдем знаки шести троек, построенных на векторах i, j и k. |
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
©* |
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
©© |
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
HHH |
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
Hj |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
Глядя на рисунок, видно что |
|
|
|
|
|
|
|
¹ ¹ ¹ |
|
|
¹ ¹ ¹ |
|
|
¹ ¹ ¹ |
|
тройка fi; j; kg правая; |
тройка fj; k; ig правая; |
тройка fk; i; jg правая; |
|||||
¹ ¹ ¹ |
|
|
¹ ¹ ¹ |
|
|
¹ ¹ ¹ |
|
тройка fi; k; jg левая; |
тройка fj; i; kg левая; |
тройка fk; j; ig левая: |
|||||
1
2
2.Векторное произведение
Втрехмерном пространстве кроме скалярного произведения существует еще и векторное произведение.
¹
Определение 3. Векторным произведением двух векторов a¹ и b называется вектор c¹, который обозначается
¹
так c¹ = [¹a; b] и который обладает следующими свойствами:
² |
¹ |
¹ |
¹ |
c¹ перпендикулярен и вектору a¹, и вектору b, т.е. (¹a; c¹) = 0 и (b; c¹) = 0. |
|||
² |
модуль вектора c¹ равен площади параллелограмма, построенного на векторах a¹ и b, т.е. jc¹j = |
||
|
¹ |
¹ |
|
|
ja¹j ¢ jbj ¢ sin ', где ' это угол между векторами a¹ и b. |
|
|
¹
² тройка fa;¹ b; c¹g правая.
¹
Замечание 1. Первое условие говорит, что вектор c¹ перпендикулярен плоскости векторов a¹ и b. Так как существует одна и только одна прямая, проходящая через начало координат и перпендикулярная этой плоскости, то первое условие определяет прямую, на которой лежит c¹. Второе условие задает длину
¹
вектора c¹. На прямой, перпендикулярной плоскости векторов a¹ и b, можно двумя способами отложить вектор заданной длины, один лежит по одну сторону от плоскости, другой по другую. Третье условие позволяет выбрать нужный вектор из этих двух.
¹ |
|
¹ |
Замечание 2. Если вектора a¹ и b коллинеарны, то мы не можем найти вектор c¹ такой, что тройка fa;¹ b; c¹g |
||
|
¹ |
¹ |
правая. Но здесь нас спасает второе условие, из которого вытекает, что в нашем случае [¹a; b] = 0. |
||
¹ |
¹ |
|
Замечание 3. Из определения векторного произведения сразу вытекает, что [¹a; b] = ¡[b; a¹]. |
|
|
¹ ¹ |
|
Пример. Чему равно произведение [i; j]? Первое условие говорит, что результат будет лежать на оси OZ. |
|
¹ |
¹ |
Из второго условия следует, что длина этого вектора равна 1, т.е. это или вектор k, или ¡k. Теперь третье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
условие определяет, что это будет именно вектор k (см. таблицу троек в предыдущем примере). Выпишем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¹ ¹ |
|
¹ |
|
|
|
||
всевозможные произведения векторов i, j и k. |
|
|
|
||||||||||
£¹i;¹j¤ = k¹; £¹j;¹i¤ = ¡k¹; £¹i; k¹¤ = ¡¹j; £k¹;¹i¤ = ¹j; £¹j; k¹¤ = ¹i; £k¹;¹j¤ = ¡¹i: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
¹ |
|
Как, зная координаты векторов a¹ и b, найти координаты вектора c¹ = [¹a; b]? |
|
||||||||||||
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Пусть c¹ = [¹a; b], тогда |
|
¯; |
¯b1 |
|
¯¶ |
= (a2b3 ¡ a3b2; a3b1 ¡ a1b3; a1b2 ¡ a2b1): |
(1) |
||||||
c¹ = µ¯b2 |
b3 |
¯ |
; ¡ ¯b1 |
b3 |
b2 |
||||||||
¯ |
a2 |
a3 |
¯ |
¯ |
a1 |
a3 |
¯ |
¯ |
a1 |
a2 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¹
Доказательство. Мы будем считать, что вектора a¹ и b неколлинеарны. (Если они коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Тогда формула (1) дает c1 = c2 = c3 = 0, что и требуется.)
Первое свойство:
(¹a; c¹) = (a1(a2b3 ¡ a3b2) + a2(a3b1 ¡ a1b3) + a3(a1b2 ¡ a2b1)) = 0
¹
(b; c¹) = (b1(a2b3 ¡ a3b2) + b2(a3b1 ¡ a1b3) + b3(a1b2 ¡ a2b1)) = 0
¹
Таким образом c¹?a¹ и c¹?b.
¹
Второе свойство. Обозначим через ' угол между векторами a¹ и b. Так как
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ' = |
|
|
a1b1 + a2b2 + a3b3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
a12 + a22 + a32 |
b12 + b22 + b32 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
p |
¡ |
|
|
|
|
= |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 + a22 + a32 |
|
|
b12 + b22 |
+ b32 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
sin ' = |
|
|
|
|
|
|
|
(a1b2 ¡ a2b1)2 |
+ (a1b3 ¡ a3b1)2 + (a2b3 |
¡ a3b2)2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
cos2 ' |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( |
sin ' > 0 |
, так как |
0± < ' < 180± |
). Поэтому |
площадь параллелограмма равна |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
¹ |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(a1b2 ¡ a2b1) |
2 |
+ (a1b3 ¡ a3b1) |
2 |
+ (a2b3 |
¡ a3b2) |
2 |
= jc¹j: |
||||||||||||||||||
|
|
|
ja¹j ¢ jbj ¢ sin ' = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
Проверку того, что тройка fa;¹ b; c¹g правая, мы проведем лишь в случае, когда векторы a¹ и b лежат |
|||||||||||||||||||||||||||||||
в плоскости xy. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a¹ = (a1; a2; 0); b = (b1; b2; 0); и c¹ = (0; 0; a1b2 ¡ a2b1): |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Мы сразу видим, что вектор c¹ направлен вверх, только если число a1b2 ¡ a2b1 положительно, но положи- |
|
¹ |
¤ |
тельность этого числа в точности означает, что пара fa;¹ bg правая (с точки зрения вектора c¹). |
|
3
3. Геометрия векторного произведения
¹
Векторное произведение имеет довольно наглядное геометрическое описание. Вектор c¹ = [¹a; b] находится в три шага:
(1) |
¹ |
¹ |
; |
сначала проектируем вектор b на плоскость ¦, ортогональную вектору a¹, и получаем вектор b1 |
|||
(2) |
производим поворот в плоскости ¦ на 90± против часовой стрелки (глядя с конца вектора a¹) и |
||
|
¹ |
¹ |
|
|
обозначим повернутый вектор b1 |
через b2; |
|
(3) |
¹ |
|
|
умножаем вектор b2 на ja¹j, это и есть вектор c¹. |
|
||
Из нашего описания вытекают два важных свойства векторного произведения.
¹¹
²[¹a; b+¹c] = [¹a; b]+[¹a; c¹]. Действительно: проекция суммы равна сумме проекций; поворот суммы двух векторов равен сумме повернутых слагаемых; умножение суммы на число равно сумме слагаемых, умноженных на то же число.
¹¹
²[¹a; ®b] = ®[¹a; b]. По тем же причинам.
Другое объяснение формулы (1). Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹ |
¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹ ¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹ |
[¹a; b] = [a1i + a2j + a3k; b1i + b2j + b3k] = b1 |
[a1i + a2j + a3k; i] + b2 |
[a1i + a2j + a3k; j] + b3 |
[a1i + a2j + a3k; k] = |
||||||||||
|
¹ ¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹ ¹ |
¹ |
|
¹ ¹ |
¹ ¹ |
|
¹ ¹ |
= ¡b1[; i; a1i + a2j + a3k] ¡ b2 |
[j; a1i + a2j + a3k] ¡ b3[k; a1i + a2j + a3k] = ¡a1b1[i; i] ¡ a2b1[i; j] ¡ a3b1 |
[i; k]¡ |
|||||||||||
|
¹ ¹ |
¹ ¹ |
¹ ¹ |
|
¹ ¹ |
¹ ¹ |
¹ ¹ |
¹ |
¹ |
¹ |
¹ |
¹ |
¹ |
¡a1b2[j; i]¡a2b2 |
[j; j]¡a3b2[j; k]¡a1b3[k; i]¡a2b3[k; j]¡a3b3[k; k] = ¡a2b1k+a3b1j+a1b2k¡a3b2i¡a1b3j+a2b3i = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
¹ |
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= (a2b3 ¡ a3b2)i + (a3b1 |
¡ a1b3)j + (a1b2 ¡ a2b1)k: |
|||||
¤