Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT2
.pdf
Лекция 2. Многоугольники.
1.Площадь многоугольника
Вэтом разделе мы докажем формулу площади многоугольника на плоскости (выпуклого или не вы-
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
пуклого неважно). Сначала введем обозначение. Пусть fa;¹ bg пара векторов, где вектор a¹ имеет |
|||||||
¹ |
|
|
|
|
|
|
¹ |
координаты (a1; a2), а вектор b координаты (b1 |
; b2). Тогда через ¢(¹a; b) мы будем обозначать число |
||||||
1 |
¯ |
a1 |
a2 |
¯ |
|
||
|
|
¢ |
¯b1 |
b2 |
¯ |
: |
|
2 |
|||||||
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
То-есть ¢(¹a; ¹b) это площадь треугольника со знаком.¯ |
¯ |
|
|||||
Как задать многоугольник? Многоугольник A1A2 : : : An на плоскости это последовательность точек
(A1; A2; : : : ; An) (вершин многоугольника) и последовательность отрезков [A1; A2]; [A2; A3]; : : : ; [An¡1; An]; [An; A1] (его сторон).
Замечание. Мы будем, разумеется, различать „настоящие\, т.е. несамопересекающиеся многоугольники, и многоугольники самопересекающиеся. „Настоящие\ многоугольники мы будем называть нсп-многоугольниками.
Определение 1. Нсп-многоугольник A1A2 : : : An мы будем называть положительно-ориентированным, если при обходе его вершин в порядке A1; A2; : : : ; An; A1 внутренняя часть многоугольника лежит слева от направления движения, и отрицательно-ориентированным, если внутренняя часть лежит справа.
Пример. Рассмотрим треугольник ABC и точку O на плоскости:
B
---HHHHHH(
A (--((((((( C
qO
Отметим, что 4ABC отрицательно ориентирован. Рассмотрим сумму
¢(OA; OB) + ¢(OB; OC) + ¢(OC; OA):
Легко видеть, что эта сумма равна
¡S4OAB ¡ S4OBC + S4OCA = ¡S4ABC:
В частности, эта сумма не зависит от выбора точки O.
Пусть ¦ = A1A2 : : : An многоугольник, а B произвольная точка на плоскости. Пусть (xi; yi) координаты точки Ai, i = 1; : : : ; n, а (a; b) координаты точки B. Определим число
S(¦; B) = ¢(BA1; BA2) + ¢(BA2; BA3) + : : : + ¢(BAn¡1; BAn) + ¢(BAn; BA1):
Наша цель доказать следующую теорему.
Теорема 1. Число S(¦; B) не зависит от выбора точки B и равно площади многоугольника, если его ориентация положительна, и минус площади, если ориентация отрицательна.
Лемма 1. Величина S(¦; B) от точки B не зависит.
Доказательство. Пусть, для наглядности, n = 5, тогда |
|
|
¡ b¯ |
+ |
¯x5 |
¡ a y5 |
¡ b¯ |
+ |
¯x1 |
¡ a y1 |
¡ b¯¶ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
S(¦; B) = 2 µ¯x2 |
¡ a y2 |
¡ b¯ |
+ |
¯x3 |
¡ a y3 |
¡ b¯ |
+ |
¯x4 |
¡ a y4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
¯ |
¡ |
|
|
¡ |
¯ |
|
¯ |
¡ |
|
|
¡ |
¯ |
|
¯ |
|
¡ |
|
|
¡ |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
|
|
¡ |
¯ |
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
¡ |
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
(x1 |
¡ |
a)(y2 |
¯b) |
¡ |
(x2 |
¡ |
a)(y¯1 |
¡ |
¯b) + (x2 |
¡ |
a)(y3¯ |
¡ |
b¯) |
¡ |
(x3 |
¡ |
a)(y2 |
¯ |
|
b¯) + (x3 |
¡ |
a)(y4 |
¯ |
|
b)¯ |
¡ |
(x4 |
¡ |
a)(y3 |
¯ |
b)+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||||||||
+ (x4 ¡a)(y5 ¡b) ¡(x5 ¡a)(y4 ¡b) + (x5 ¡a)(y1 ¡b) ¡(x1 ¡a)(y5 ¡b) = (x1y2 ¡x2y1 ¡x1b + x2b + y1a ¡y2a)+ +(x2y3 ¡x3y2 ¡x2b+x3b+y2a¡y3a)+(x3y4 ¡x4y3 ¡x3b+x4b+y3a¡y4a)+(x4y5 ¡x5y4 ¡x4b+x5b+y4a¡y5a)+
+(x5y1¡x1y5¡x5b+x1b+y5a¡y1a) = (x1y2¡x2y1)+(x2y3¡x3y2)+(x3y4¡x4y3)+(x4y5¡x5y4)+(x5y1¡x1y5): |
¤ |
И мы видим, что числа a и b не фигурируют в окончательном выражении. |
Следствие. Пусть ¦ выпуклый многоугольник, а точка B выбрана внутри ¦. Тогда все числа ¢(BAi; BAi+1) имеют один и тот же знак. Причем этот знак положителен, если многоугольник ¦ положительно ориентирован, и отрицателен в противном случае. Сумма же чисел ¢(BA1; BA2) + : : : + ¢(BAn; BA1) равна
по модулю площади многоугольника.
1
2
Таким образом, теорема доказана для выпуклых многоугольников. Величину S(¦; B) мы иногда будем обозначать S(¦).
Лемма 2. Пусть в многоугольнике ¦ проведена диагональ `, соединяющая вершины A1 и Ai, и разбивающая его на два многоугольника ¦1 и ¦2: ¦1 = A1 : : : Ai, ¦2 = A1Ai : : : An. Тогда S(¦) = S(¦1) + S(¦2).
Доказательство. Отметим, что многоугольники ¦1, ¦2 и ¦ ориентированы одинаково. Так как числа ¢(BAi; BA1) и ¢(BA1; BAi) противоположны, то
S(¦; B) = ¢(BA1; BA2) + : : : + ¢(BAn; BA1) = ¢(BA1; BA2) + : : : + ¢(BAi; BA1)+
+ ¢(BA1; BAi) + ¢(BAi; BAi+1) + : : : + ¢(BAn; BA1) = S(¦1; B) + S(¦2; B):
¤
Теперь теорема следует из того факта, что любой многоугольник диагоналями мы можем разбить на выпуклые многоугольники.
Чему же равна величина S(¦; B), если многоугольник ¦ имеет самопересечения? Чтобы это понять, добавим точки самопересечения к вершинам многоугольника.
Лемма 3. Пусть ¦ = A1A2 : : : An многоугольник, точка C = (x0; y0) лежит на стороне A1A2 (например), а многоугольник ¦0 = A1CA2 : : : An получен из многоугольника ¦ добавлением вершины C. Тогда
S(¦; B) = S(¦0; B).
Доказательство. Пары fBA1; BA2g, fBA1; BCg и fBC; BA2g имеют один и тот же знак, а S4BA1A2 =
S4BA1C + S4BCA2 . ¤
Пример. Рассмотрим четырехугольник ¦ = A1A2A3A4, где A1 = (¡4; 1), A2 = (2; 3), A3 = (3; 0) и A4 = (¡3; 3). Обозначим через C точку пересечения сторон A1A2 и A3A4: C = (¡1; 2).
A4¢HH C |
³³³³BA2 |
|||
|
H |
|
|
|
¢ |
³ |
|
|
B |
³ H |
HH |
|||
¢³³³ |
|
|
B |
|
A1 |
|
|
|
HH B |
|
|
|
|
HB A3 |
Тогда S(¦; B) = S(¦0; B), где ¦0 = CA2A3CA4A1. Но
S(¦0; C) = S(CA2A3; C) + S(CA4A1; C) = S4CA1A4 ¡ S4CA2A3 :
Пример. Рассмотрим пятиугольник ¦ = A1A2A3A4A5, где A1 = (¡5; ¡3), A2 = (1; 3), A3 = (1; ¡3),
A4 = (¡3; 1) и A5 = (3; 1):
|
|
¡ |
¡ |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4 |
|
D ¡ |
|
|
E |
|
© |
A5 |
@ ¡ |
|
|
© |
© |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
C¡@ |
© |
|
|
|
|
||
|
¡ @©© |
|
|
F |
|
|
|
|
¡ |
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
© G@ |
|
|
|
|
|
|
|
¡©© |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A1©¡ |
|
|
|
A3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
Здесь C = (¡2; 0). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡18 = S(¦; C) = S(CA4A5A1CA2A3; C) = S(CA4A5A1; C) + S(CA2A3; C):
Т.е. величина S(¦; C) равна сумме площадей четырехугольника CA4A5A1 и треугольника CA2A3, взятых с обратным знаком. Но эта сумма площадей равна сумме площади многоугольника A1CA4DA2EA5F A3G и пятиугольника CDEF G.
|
|
3 |
2. Углы и скалярное произведение |
|
|
¹ |
¹ |
|
Определение 2. Скалярным произведением (¹a; b) двух векторов a¹ и b называется число, равное произведе- |
||
¹ |
¹ |
|
нию модулей этих векторов на косинус угла между ними: (¹a; b) = ja¹j ¢ jbj ¢ cos('). |
|
|
|
¹ |
¹ |
Теорема 2. Пусть вектор a¹ имеет координаты a1 и a2, а вектор b координаты b1 |
и b2. Тогда (¹a; b) = |
|
a1b1 + a2b2.
Доказательство. Обозначим через ' угол между что
cos(') =
¹
Следовательно, (¹a; b) = a1b1 + a2b2.
¹
векторами a¹ и b. На прошлой лекции было показано,
a1b1 + a2b2 :
¤
Замечание. Скалярное произведение используется не только для вычисления углов, но и как критерий перпендикулярности: два ненулевых вектора перпендикулярны в том и только том случае, когда их скалярное произведение равно нулю.
Вычислению величин углов в нсп-многоугольнике мешает тот факт, что в невыпуклых многоугольниках есть углы, больше развернутого. Отличить углы больше развернутого от углов меньше развернутого в нсп-многоугольнике ¦ = A1 : : : An можно так: рассмотрим пары
fA1An; A1A2g; fA2A1; A2A3g; : : : ; fAnAn¡1; AnA1g:
Эти пары устроены следующим образом: векторы каждой пары образуют угол многоугольника, причем первый вектор пары, образующей угол \Ai, идет в предыдущую вершину (в порядке обхода), т.е. в вершину Ai¡1, а второй вектор – в следующую вершину, т.е. в Ai+1. Тогда знаки пар, отвечающих углам больше развернутого и меньше развернутого, противоположны. Точнее, если ¦ ориентирован положительно, то пары, отвечающие углам больше развернутого правые, а меньше развернутого левые. Если же ¦ ориентирован отрицательно, то наоборот: пары, отвечающие углам больше развернутого левые, а меньше развернутого правые.
Пример. Найдем величину угла \D в семиугольнике ABCDEF G, где A = (¡2; 5), B = (¡1; 2), C =
(¡3;¯¡1), D =¯ (0; 1), E = (2; ¡1), F = (4; 2) и G = (1; 1). Имеем, DC = (¡3; ¡2), DE = (2; ¡2), а так
¯¯¡3 ¡2¯¯
как ¯ 2 ¡2¯ = 10, то наша пара правая. Однако, ориентация семиугольника нам неизвестна. Поступим
следующим образом: угол при самой верхней, самой правой, самой нижней и самой левой вершине меньше¯ ¯ развернутого. Самая верхняя вершина это A. Имеем, AG = (3; ¡4), AB = (1; ¡3), а так как
¯¯¯31 ¡¡43¯¯¯ = ¡5, то эта пара левая. Следовательно, \D больше развернутого. Далее,
1 |
|
1 |
|
||||
cos(\D) = ¡ |
p |
|
; arccos |
µ¡ |
|
|
¶ ¼ 100±; \D ¼ 260±: |
p |
|
||||||
26 |
26 |
||||||