Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT7

¤

Пример. Каким станет уравнение прямой x + y ¡ 1 = 0 в новой системе координат, которая получена поворотом осей на угол ' = 45±? Так как x = x0=p2 ¡ y0=p2 и y = x0p2 + y0=p2, то

Многочлен p(x; y) степени n задает кривую p(x; y) = 0, которая называется кривой n-го порядка.

Кривые первого порядка это кривые вида ax+by+c = 0, т.е. прямые. Кривые второго порядка задаются многочленами степени два вида

p(x; y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f:

3. Преобразование уравнения кривой второго порядка

Цель этого раздела максимально упростить уравнение кривой с помощью поворота и сдвига системы координат.

Лемма 1. Пусть b 6= 0. Тогда существует (и ровно один) угол 0 < ' < 90± такой, что при повороте системы координат на этот угол против часовой стрелки в уравнении кривой (в новых координатах) коэффициент при x1y1 равен нулю.

Замечание. Если b = 0, то поворот не нужен, т.е. ' = 0.

Доказательство. Повернем систему координат на угол '. В новых координатах уравнение кривой имеет вид:

(a cos2(') + b cos(') sin(') + c sin2('))x21 + (¡2a cos(') sin(') + b cos2(') ¡ b sin2(') + 2c cos(') sin('))x1y1+ + (a sin2(') ¡ b cos(') sin(') + c cos2(')y12 + (d cos(') + e sin('))x1 + (e cos(') ¡ d sin('))y1 + f = 0:

Мы хотим обнулить коэффициент при x1y1, т.е. решить тригонометрическое уравнение

¡2a cos(') sin(') + b cos2(') ¡ b sin2(') + 2c cos(') sin(') = 0:

Поделив на cos2('), мы получим квадратное уравнение на tg('):

b tg2(') + 2(a ¡ c) tg(') ¡ b = 0:

Дискриминант D уравнения положителен и, кроме того, D = 4(a ¡ c)2 + 4b2 > 4(a ¡ c)2. Это означает, что уравнение имеет положительный корень t1 и отрицательный корень t2. Осталось положить ' = arctg(t1). ¤

Уравнение кривой теперь таково ax2 +cy2 +dx+ey+f = 0. Если a 6= 0, то сдвиг начала системы координат в точку (¡d=2a; 0) обнуляет коэффициент при x1 в первой степени. Аналогично, если c 6= 0, то сдвиг начала системы координат в точку (0; ¡e=2c) обнуляет коэффициент при y1 в первой степени. У нас есть следующие возможности:

(1)a 6= 0 и c 6= 0, тогда после сдвига уравнение кривой выглядит так: ax2 + cy2 + f = 0. Будем считать, что a > 0 (иначе изменим знаки). Выделим следующие пять случаев:

(a)c > 0, f > 0 (это уравнение вообще не имеет решений).

(b)c > 0, f = 0 (только точка (0,0) удовлетворяет этому уравнению).

3

(c)c > 0, f < 0 (это уравнение задает эллипс).

(d)c < 0, f 6= 0 (это уравнение задает гиперболу).

(e)c < 0, f = 0 (это уравнение задает пару прямых, пересекающихся в начале координат).

(2) a = 0, c =6 0, тогда после сдвига уравнение кривой выглядит так: cy2 + dx + f = 0. Будем считать, что c > 0 (иначе изменим знаки). Выделим следующие четыре случая:

(a) d 6= 0 (это уравнение задает параболу).

(d)d = 0, f = 0 (это уравнение задает прямую y = 0).

(3)a 6= 0, c = 0, тогда после сдвига уравнение кривой выглядит так: ax2 + ey + f = 0. Здесь ситуация аналогична ситуации пункта 2 (с заменой y на x.