Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT8

2

2.Гипербола

2.1.Уравнение и график гиперболы. Мы будем называть гиперболой кривую, заданную уравнением

Замечание. В школе гипербола определяется как кривая с уравнением xy ¡ 1 = 0. Однако, поворот системы координат на 45± дает нам уравнение

или

x2 ¡ y2 = 1:

2 2

Вот график гиперболы:

Здесь в обеих случаях прямые y = §bx=a являются асимптотами.

2.2. Гипербола как геометрическое место точек. Пусть F1 и F2 две точки на плоскости, называемые фокусами, jF1F2j = 2c. Рассмотрим кривую C геометрическое место точек A на плоскости таких, что модуль разности расстояний от A до точек F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a, a < c.

Покажем, кривая C это гипербола. Для этого введем систему координат так, чтобы F1 = (c; 0), F2 = (¡c; 0). Пусть A = (x; y), тогда

pp

(x + c)2 + y2 ¡ (x ¡ c)2 + y2 = §2a:

Как и в случае эллипса, возведениями в квадрат убираем корни:

(x + c)2 + y2 = (x ¡ c)2 + y2 § 2a ) x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 ¡ 2cx + c2 + y2 § 2a (x ¡ c)2 + y2 + 4a2 )

Здесь b = pc2 ¡ a2.

Замечание. При таком выборе системы координат мы получаем уравнение гиперболы, где в правой части стоит 1. Уравнение, где в правой части стоит -1, получится, если фокусы расположить на оси OY.

3. Парабола

Геометрическое определение параболы как ГМТ тоже есть. Даны точка F фокус и прямая ` директриса. Тогда кривая C ГМ точек A, равноудаленных от фокуса и директрисы, является параболой.

3

y

6

-

x

B `

Пусть ось OX системы координат параллельна прямой ` и равноудалена от фокуса и директрисы, а точка F лежит на оси OY . Если расстояние от фокуса до директрисы равно 2p, то точка F имеет координаты (0; p), а прямая ` имеет уравнение y + p = 0. Пусть точка A имеет координаты (x; y), тогда (y + p)2 = x2 + (y ¡ p)2, т.е. x2 = 4py.

Замечание. Фокус параболы y = x2 находится в точке (0; 1=4).

4. Фокальное свойство параболы

Предложение. Луч света идущий вниз внутри параболы y = x2, отразившись от нее, попадает в фокус.

Доказательство. Луч света, идущий вниз вдоль прямой x = a, попадает в точку A(a; a2) и отражается от параболы, т.е. угол между начальной траекторией луча и касательной ` к параболе в точке A равен углу между отраженным лучом и той же касательной.

-`

-

Здесь ¯ = 2® ¡ 90±. Таким образом, тангенс наклона отраженного луча равен (k2 ¡ 1)=2k, где k тангенс наклона касательной `. Так как k = 2a, то отраженный луч идет по прямой

Есть простой способ понять, какая именно кривая отвечает данному уравнению второй степени. Имея

Справедлива следующая теорема.

Теорема распознавания. Пусть уравнение (1) задает кривую второго порядка C. Перечислим возникающие случаи.

4

(1)¢ 6= 0:

(a)если ± > 0 и ¢ > 0, то C пустое множество;

(b)если ± > 0 и ¢ < 0, то C эллипс;

(c)если ± = 0, то C парабола;

(d)если ± < 0, то C гипербола.

(2)¢ = 0:

(a)если ± > 0, то C точка;

(b)если ± < 0, то C пара пересекающихся прямых;

(c)если ± = 0, то C пара параллельных прямых или пара слившихся прямых или пустое множество

Набросок доказательства. Величины ¢ и ± не меняются при повороте и сдвиге прямое, хотя и трудное, вычисление. Теперь осталось увидеть, чему равны эти величины для кривых, заданных каноническими уравнениями.

²x2=a2 + y2=b2 + 1 = 0 (пустое множество): ¢ > 0, ± > 0.

²x2=a2 + y2=b2 ¡ 1 = 0 (эллипс): ¢ < 0, ± > 0.

²x2=a2 ¡ y2=b2 § 1 = 0 (гипербола): ¢ 6= 0, ± > 0.

²x2=a2 + y2=b2 = 0 (точка): ¢ = 0, ± > 0.

²x2=a2 ¡ y2=b2 = 0 (пересекающиеся прямые): ¢ = 0, ± < 0.

²x2 + ay = 0 или y2 + ax = 0 (парабола): ¢ 6= 0, ± = 0.

²x2 + a = 0 (параллельные прямые, слившиеся прямые, пустое множество): ¢ = 0, ± = 0.

¤

Пример. Рассмотрим кривую, заданную уравнением

17x2 ¡ 12xy + 8y2 + 34x ¡ 12y ¡ 3 = 0:

В этом случае теорема распознавания не дает окончательного ответа. Однако в левой части уравнения можно выделить полный квадрат (это всегда можно сделать, если ¢ = ± = 0):

x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y + 3 = (x + y + 2)2 ¡ 1 = (x + y + 1)(x + y + 3) = 0:

Таким образом наша кривая это две параллельные прямые: x + y + 1 = 0 и x + y + 3 = 0.