Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT9

Лекция 9. Поверхности

1. Поверхности вращения

Рассмотрим трехмерное пространство и кривую C на плоскости xy. Вращение кривой C вокруг оси OX или оси OY дает нам поверхность вращения V . Как написать уравнение поверхности, если мы знаем уравнение f(x; y) = 0 кривой C? Рассмотрим вращение C вокруг оси OX. Если точка A с координатами (x0; y0) лежит на кривой C, то окружность радиуса jy0j с центром в (x0; 0; 0), плоскость которой перпендикулярна оси OX, лежит на поверхности V . Если точка B с координатами (x0; y1; z1) принадлежит этой окружности, то

Пример. Вращение прямой y = x вокруг оси OX дает конус с уравнением x = §py2 + z2. Мы берем положительный корень, если x > 0, и отрицательный если x < 0. Теперь заметим, что при возведении в квадрат вопрос о знаке решается сам собой. Итак, x2 = y2 + z2 это уравнение конуса с осью симметрии

OX.

Пример. Вращение окружности x2+y2 = 1 вокруг оси OX дает поверхность вращения сферу с уравнением x2 + y2 + z2 = 1. Рассмотрим теперь окружность x2 + y2 ¡ 4y + 3 = 0 радиуса 1 с центром в точке (0; 2). Ее вращение вокруг оси OX дает поверхность вращения тор с уравнением x2 + y2 + z2 + 3 = §4py2 + z2. Так как в левой части равенства стоит положительное число, то уравнение тора можно упростить: x2+y2+z2+3 = 4py2 + z2. Возведем в квадрат и избавимся от корня: (x2 + y2 + z2 + 3)2 = 16(y2 + z2). Обратите вниманиеэто уравнение 4-го порядка.

2. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка описываются уравнениями степени 2:

a11x2 + a12xy + a13xz + a22y2 + a23yz + a33z2 + a10x + a20y + a30z + a00 = 0:

Теорема, доказать которую не так-то просто (и которую мы будем обсуждать в следующем семестре), утверждает, что поворотом системы координат можно уничтожить все смешанные произведения, т.е. существует система координат (x1; y1; z1), которая получается при вращении исходной системы координат вокруг некоторой прямой и в которой уравнение поверхности имеет вид:

ax21 + by12 + cz12 + dx1 + ey1 + fz1 + g = 0:

Всего типов поверхностей второго порядка много, опишем главные из них, а потом сформулируем теорему классификации.

(1)a; b; c 6= 0. Тогда сдвигом системы мы приводим уравнение к виду ax22 + by22 + cz22 + h = 0. Будем считать, что a > 0.

(a)b; c; h > 0 пустое множество.

(b)b; c > 0, h = 0 точка.

(c)b; c > 0, h < 0 эллипсоид.

(d)b > 0, c < 0, h > 0 (или b < 0, c > 0, h > 0 или b < 0, c < 0, h < 0) двуполостный гиперболоид.

(e)b > 0, c < 0, h < 0 (или b < 0, c > 0, h < 0 или b < 0, c < 0, h > 0) однополостный гиперболоид.

(f)h = 0, b > 0, c < 0 (или b < 0, c > 0 или b < 0, c < 0) конус.

(2)b 6= 0, c = 0 (это все равно, что b = 0, c 6= 0). Тогда сдвигом системы приводим уравнение к виду

ax22 + by22 + cz2 + h = 0. Если c 6= 0, b > 0, то это эллиптический параболоид, а если c 6= 0, b < 0, то это гиперболический параболоид.

Теорема классификации. Поверхности второго порядка бывают следующих типов: эллипсоид, гиперболоиды однополостный и двуполостный, параболоиды эллиптический и гиперболический, цилиндры и конусы второго порядка, пары плоскостей, точка, пустое множество.

Канонические уравнения „настоящих\ поверхностей второго порядка таковы:

(1)эллипсоид: x2=a2 + y2=b2 + z2=c2 = 1;

(2)двуполостный гиперболоид: x2=a2 + y2=b2 ¡ z2=c2 = ¡1;

(3)однополостный гиперболоид: x2=a2 + y2=b2 ¡ z2=c2 = 1;

(4)эллиптический параболоид: z = x2=a2 + y2=b2;

(5)гиперболический параболоид: z = x2=a2 ¡ y2=b2.

Замечание. Эллипсоид, оба гиперболоида и эллиптический параболоид могут быть получены при растяжении (вдоль осей координат) поверхностей вращения эллипса, гиперболы и параболы вокруг их осей симметрии. Гиперболический параболоид нельзя получить таким образом из поверхности вращения.

1