Algebra&Geometry / modules 1-2 / VOPROSN

Вопросник по курсу „Алгебра и геометрия\.

Осенний семестр 2012/2013 учебного года. Группы ПИ-11, М-11, ПМИ-11 и ФИ-11.

(1)Векторы на плоскости. Коллинеарность. Определитель второго порядка и критерий коллинеарности. Пары векторов. Правые и левые пары. Критерий знака пары.

(2)Косинус угла между векторами. Формула площади треугольника. Скалярное произведение. Формула для вычисления скалярного произведения через координаты сомножителей.

(3)Формула площади многоугольника.

(4)Векторы в трехмерном пространстве. Компланарные векторы. Тройки векторов. Правые и левые тройки. Векторное произведение. Формула для вычисления векторного произведения через координаты сомножителей.

(5)Определитель третьего порядка. Формула объема параллелепипеда и треугольной пирамиды. Критерий знака тройки.

(6)Прямая на плоскости. Общее уравнение и нормальный вектор. Положение точки относительно прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Формула расстояния от точки до прямой.

(7)Плоскость в пространстве. Общее уравнение и нормальный вектор. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором. Формула расстояния от точки до плоскости.

(8)Прямая в пространстве. Канонические уравнения и направляющий вектор. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Взаимное расположение плоскости и прямой. Критерий пересечения двух прямых в пространстве.

(9)Эллипс, как геометрическое место точек. Каноническое уравнение эллипса.

(10)Гипербола, как геометрическое место точек. Каноническое уравнение гиперболы.

(11)Парабола, как геометрическое место точек. Каноническое уравнение параболы. Фокальное свойство параболы.

(12)Преобразования координат при сдвигах и поворотах системы координат.

(13)Кривые второго порядка. Теорема классификации.

(14)Определители ¢ и ± и теорема распознавания (формулировка).

(15)Системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные системы. Равносильные системы. Совместность и несовместность. Матрица системы. Элементарные преобразования. Элементарные преобразования и равносильность.

(16)Главный элемент. Ступенчатая и главная ступенчатая матрицы. Главные столбцы. Приведение матрицы к ступенчатому и главному ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

(17)Единственность главного ступенчатого вида.

(18)Решение линейных систем методом Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Критерий совместности системы. Критерий единственности решения. Запись решения в векторном виде.

(19)Ранг матрицы. Свойства ранга. Перестановочность элементарных преобразований строк и элементарных преобразований столбцов. Ранг и элементарные преобразования столбцов. Ранг матрицы и ранг ее транспонированной.

(20)Произведение матриц. Ассоциативность произведения. Произведение и транспонирование.

(21)Единичная матрица. Элементарные матрицы и их свойства. Произведение матриц и ранг. Вырожденные и невырожденные матрицы.

(22)Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы.

(23)Определители. Определитель единичной матрицы. Определители и элементарные преобразования. Разложение определителя по любой строке.

(24)Определитель и транспонирование. Определитель и элементарные преобразования столбцов. Разложение определителя по столбцу.

(25)Критерий невырожденности.

(26)Формула для вычисления обратной матрицы и формула Крамера.

(27)Определитель произведения матриц.

(28)Теорема о базисном миноре.

(29)Определитель Кэли-Менгера и объем пирамиды.