Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT6
.pdf
Лекция 6. Плоскость и прямая в пространстве.
1. Плоскость в пространстве. Продолжение
Выведем формулу для расстояния d(A; ¦) от данной точки A с координатами (x0; y0; z0) до плоскости
¦ : ax + by + cz + d = 0.
Предложение 1.
d(A; ¦) = jax0p+ by0 + cz0 + dj: a2 + b2 + c2
Доказательство. Рассмотрим три точки в плоскости ¦: B = (¡d=a; 0; 0), C = (0; ¡d=b; 0) и D = (0; 0; ¡d=c) и три вектора BA = (x0 + d=a; y0; z0), BC = (d=a; ¡d=b; 0) и BD = (d=a; 0; ¡d=c). Объем V параллелепипеда, построенного на этих трех векторах, равен площади основания, т.е. модулю векторного произведения [BC; BD], умноженного на высоту, т.е. на d(A; ¦). Но, с другой стороны, V равен модулю определителя ¢, элементами которого являются координаты этих трех векторов. Другими словами,
|
|
d(A; ¦) = |
|
V |
|
|
|
= |
|
j¢j |
: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Имеем |
|
|
j[BC; BD]j |
|
|
j[BC; BD]j |
|
|
||||||||||||
¯ |
x0 + d=a |
y0 |
|
z0 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d2(ax0 + by0 + cz0 + d) |
|
||||||||||||||
¢ = |
d=a |
d=b |
|
|
0 |
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
¯ |
d=a |
¡0 |
|
|
|
d=c¯ |
|
|
|
|
|
|
|
abc |
|||||
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
Поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
d2 d2 |
|
|
|
d2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+ b2 + c2 |
|
|||||||||||||||||||
|
j[BC; BD]j = |
¯µ |
|
; |
|
|
; |
|
|
¶¯ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
||||||||
bc |
ac |
ab |
|
|
|
|
|
j |
abc |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
+ c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d(A; ¦) = |
d jax0 |
+ by0 + cz0 + dj |
|
: |
d a |
+ b |
|
|
|
|
= |
jax0 |
+ by0 + cz0 + dj |
: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
jabcj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jabcj |
|
|
|
|
pa2 + b2 + c2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¤
В качестве приложения, докажем критерий существования общей точки у трех прямых на плоскости.
Теорема 1. Пусть на плоскости заданы три прямые:
`1 : a1x + b1y + c1 = 0; `2 : a2x + b2y + c2 = 0; `3 : a3x + b3y + c3 = 0:
Если эти три прямые пересекаются в одной общей точке, то |
|
|||||||||
¢ = |
¯a2 |
b2 |
c2 |
¯ |
= 0: |
|||||
|
¯a |
|
b |
|
c |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
a1 |
b1 |
c1 |
¯ |
|
|
|||
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
Доказательство. Пусть у прямых `1, `2 и `3 есть¯ |
общая точка¯ |
A с координатами x0 и y0. Рассмотрим три |
||||||||
плоскости
¦1 : a1x + b1y + c1z = 0; ¦2 : a2x + b2y + c2z = 0; ¦3 : a3x + b3y + c3z = 0:
У этих плоскостей есть две общие точки: начало координат и точка B с координатами x0, y0 и 1. Значит, эти три плоскости содержат прямую OB. Поэтому, нормальные векторы этих плоскостей перпендикулярны этой прямой и, следовательно, компланарны. Условие компланарности и есть равенство нулю определителя
¢. |
¤ |
2. |
Прямая в пространстве |
Прямая в пространстве является пересечением двух плоскостей и не может быть определена одним уравнением. Задать же прямую в виде пересечения двух плоскостей можно многими способами, поэтому хотелось бы иметь стандартное описание прямой. Такое описание есть, оно называется каноническими уравнениями
прямой. Канонические уравнения прямой ` имеют вид |
|
|
|
|
|||||||
|
` : |
x ¡ x0 |
= |
y ¡ y0 |
= |
z ¡ z0 |
: |
|
|
||
|
|
k |
|
|
l |
m |
|
|
|
||
Это не одно уравнение, а два: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одно |
x ¡ x0 |
= |
y ¡ y0 |
и второе |
y ¡ y0 |
= |
z ¡ z0 |
: |
|||
|
k |
|
l |
|
|
|
|
l |
|
m |
|
Первое уравнение имеет вид lx ¡ ky ¡ lx0 + ky0 |
= 0. Это уравнение плоскости. Его нормальный вектор |
||||||||||
имеет нулевую z-координату, т.е. плоскость параллельна оси OZ. Второе уравнение имеет вид my ¡ lz ¡ my0 + lz0 = 0. Это тоже уравнение плоскости. Его нормальный вектор имеет нулевую x-координату, т.е. плоскость параллельна оси OX. Другими словами, канонические уравнения прямой это тоже система из двух уравнений плоскостей, но специального вида. Изучим свойства канонических уравнений прямой `.
1
2
²Точка с координатами x0, y0 и z0 лежит на прямой. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить координаты точки в канонические уравнение и получить тождество.
²Вектор v¹ = (k; l; m) параллелен `. В самом деле, точки A = (x0; y0; z0) и B = (x0 + k; y0 + l; z0 + m) лежат на прямой `. Поэтому вектор v¹ = AB = (k; l; m) параллелен прямой. Вектор v¹ мы будем называть направляющим вектором прямой.
Как написать канонические уравнения прямой `, проходящей через две данные точки A и B. Пусть, например,
A = (1; 2; 3) и B = (2; 4; 7);
тогда вектор AB = (1; 2; 4) направляющий вектор прямой, и уравнения имеют вид
x ¡ 1 |
= |
y ¡ 2 |
= |
z ¡ 3 |
или |
x ¡ 2 |
= |
y ¡ 4 |
= |
z ¡ 7 |
: |
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
2 |
4 |
|
2 |
4 |
|
||||||
При рассмотрении канонических уравнений сразу же возникает естественный вопрос, как понимать, на-
пример, такое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ¡ 1 |
= |
y + 1 |
= |
z ¡ 2 |
или такое |
x + 1 |
= |
y + 2 |
= |
z ¡ 2 |
? |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
4 |
0 |
|
|||||||
В первом случае направляющим вектором прямой ` является вектор v¹ = (0; 1; 2). Этот вектор перпендикулярен оси x, следовательно, ` тоже перпендикулярна оси x. Значит, x-координата любой точки на ` постоянна и равна, конечно, 1. Другими словами, канонические уравнения в этом случае надо понимать как систему
x = 1
y + 1 = z ¡ 2: 1 2
Во-втором случае v¹ = (0; 4; 0), т.е. прямая ` параллельна оси y, следовательно x и z координаты любой точки на ` постоянны, а канонические уравнения надо понимать как систему
½x = ¡1 z = 2
Обратите внимание, что в этом случае никаких условий на y-координату не накладывается. Следующий естественный вопрос таков: пусть заданы канонические уравнения двух прямых
`1 |
: |
x ¡ x1 |
= |
y ¡ y1 |
= |
z ¡ z1 |
и `2 |
: |
x ¡ x2 |
= |
y ¡ y2 |
= |
z ¡ z2 |
: |
k1 |
l1 |
|
k2 |
l2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
m2 |
||||||
В каком случае прямые `1 и `2 совпадают? Во-первых направляющие векторы v¹1 и v¹2 должны быть коллинеарны. Во-вторых, произвольно взятая точка на прямой `1 должна лежать на прямой `2 (если две параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают). Проще всего подставить координаты x1; y1 и z1 в уравнения прямой `2. Если мы получаем тождество, то прямые совпадают (при условии, что направляющие векторы коллинеарны). То-есть условие совпадения выглядит так: v¹1jjv¹2 и, кроме того,
|
|
|
|
|
|
x1 ¡ x2 |
= |
y1 ¡ y2 |
= |
z1 ¡ z2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Совпадают ли прямые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
`1 : |
x ¡ 1 |
= |
y + 1 |
= |
|
z |
и `2 : |
x ¡ 2 |
= |
|
y ¡ 1 |
= |
z + 1 |
? |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
¡2 |
|
|
||||||||||||||
Решение. Во-первых векторы v¹1 = (1; 2; ¡1) и v¹2 = (2; 4; ¡2) коллинеарны. Во-вторых |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 ¡ 2 |
= |
¡1 ¡ 1 |
|
= |
|
0 + 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оба условия выполнены. Значит, прямые совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Две непараллельные прямые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
`1 : |
x ¡ x1 |
= |
y ¡ y1 |
= |
z ¡ z1 |
и `2 |
: |
x ¡ x2 |
= |
y ¡ y2 |
= |
z ¡ z2 |
||||||||||||||||||
|
k1 |
|
l1 |
|
m1 |
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
l2 |
m2 |
||||||||||||||
могут быть скрещивающимися, а могут иметь общую точку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Предложение 2. Непараллельные прямые `1 и `2 имеют общую точку в том и только том случае, когда |
||||||||||||||
¯ |
|
k2 |
x |
|
y |
|
l2 |
y |
|
|
m2 |
|
¯ |
= 0: |
¯x |
|
k1 |
|
|
l1 |
|
z z |
|
¯ |
|
||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
¯ |
|
||
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||||
Доказательство. Если прямые `1 и `2 имеют общую точку, то они лежат в одной плоскости ¦. Тогда в этой же плоскости лежит точка A = (x1; y1; z1) и точка B = (x2; y2; z2), а вектор AB = (x2 ¡ x1; y2 ¡ y1; z2 ¡ z1)
3
параллелен ¦. Векторы v¹1 = (k1; l1; m1) и v¹2 = (k2; l2; m2) также параллельны ¦. Значит три вектора v¹1, v¹2
и |
AB |
компланарны. Осталось применить условие компланарности. |
|
|
|
|
¤ |
|
|
|
3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве |
||||||
|
Пусть даны |
|
|
|
|
|
||
|
|
плоскость ¦ : ax + by + cz + d = 0 и прямая ` : |
x ¡ x0 |
= |
y ¡ y0 |
= |
z ¡ z0 |
: |
|
|
k |
l |
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим нормальный вектор n¹ = (a; b; c) (плоскости) и направляющий вектор v¹ = (k; l; m) (прямой). Тогда
²`jj¦, если v¹?n¹, т.е. если (¹v; n¹) = 0, и, кроме того, точка с координатами (x0; y0; z0) не принадлежит плоскости, т.е. ax0 + by0 + cz0 + d 6= 0;
²прямая ` лежит в плоскости ¦, если v¹?n¹ и точка с координатами (x0; y0; z0) принадлежит ¦, т.е. ax0 + by0 + cz0 + d = 0;
²если (¹v; n¹) 6= 0, то прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку, координаты которой являются
решением системы |
½ (x ¡ x0)=k = (y ¡ y0)=l = (z ¡ z0)=m |
|
ax + by + cz + d = 0 |
Пример. Что можно сказать о взаимном расположении плоскости и прямой
¦ : x ¡ 2y + z + 4 = 0 и ` : x ¡ 1 = y ¡ 2 = z + 1: 3 1 ¡1
Во-первых (¹n; v¹) = 1 ¢ 3 ¡ 2 ¢ 1 ¡ 1 ¢ 1 = 0. Во-вторых 1 ¢ 1 ¡ 2 ¢ 2 ¡ 1 ¢ 1 + 4 = 0, т.е. точка с координатами 1; 2; ¡1 лежит в плоскости. Значит, ` принадлежит ¦.