Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
67
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
251.98 Кб
Скачать

Лекция 4. Объемы, площади и углы. Прямая на плоскости

1. Формула объема

Сначала дадим важное определение.

Определение 1. Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по матрице порядка 3£3 по следующему правилу:

¯

¯¯a1

¯¯b1 ¯c1

c

c

¯

 

¯

2

 

3¯ ¡

 

¯

1

 

3¯

 

¯

1

 

2¯

 

a2

a3

¯

 

¯

b

b

 

¯

 

¯

b

b

 

¯

 

¯

b

b

 

¯

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

b2

b3

¯

= a1

¯

c2

c3

¯

a2

¯

c1

c3

¯

+ a3

¯

c1

c2

¯

:

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь мы можем вывести формулу объема параллелепипеда и доказать критерий знака тройки. Пусть

¹

 

 

 

 

 

 

 

 

a¹, b и c¹ три вектора. Обозначим через ¢ определитель

 

 

 

 

¢ =

¯b1 b2 b3

¯

:

 

¯c

 

c

 

c

 

¯

 

 

a1

a2

a3

¯

 

 

¯

1

 

2

 

3

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

¹

Теорема 1. Модуль определителя ¢ равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a¹, b и c¹. Кроме того:

¹

² если ¢ > 0, то тройка fa;¹ b; c¹g правая;

¹

² если ¢ < 0, то тройка fa;¹ b; c¹g левая;

¹

² если ¢ = 0, то то векторы a;¹ b; c¹ компланарны.

Сначала докажем лемму.

Лемма.

Доказательство. Имеем,

([¹a;¹b]; c¹) =

¯b1

b2

b3

¯

:

 

¯c

c

 

c

 

¯

 

 

¯

a1

a2

a3

¯

 

 

1

 

2

 

3

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

¹

([¹a; b]; c¹) = c1(a2b3 ¡ a3b2) + c2(a3b1 ¡ a1b3) + c3(a1b2

Доказательство Теоремы 1.

¯

¯¯a1 a2

¡ a2b1) = ¯¯b1 b2 ¯c1 c2

¯

a3¯¯ b3¯¯: c3¯

¤

 

¹

 

 

 

 

Объем. Пусть вектора a¹ и b образуют основание параллелепипеда, тогда V = Sоснh, где h высота. Мы

¹

¹

¹

 

 

 

знаем, что Sосн = jdj, где d = [¹a; b], а h это длина проекции вектора c¹ на прямую, перпендикулярную

 

 

 

 

¹

¹

плоскости основания, т.е. на прямую, заданную вектором d. Пусть ' угол между векторами c¹ и d, тогда

 

¹

 

¹

 

 

h = jc¹j ¢ j cos 'j, и V = jdj ¢ jc¹j ¢ j cos 'j = j(d; c¹)j. Теперь осталось воспользоваться Леммой 1.

 

 

 

¹

¹

¹

 

Знак тройки. Мы знаем, что ¢ = (d; c¹), где d = [¹a; b]. Знак скалярного произведения зависит от величины

угла между векторами: если угол меньше 90±, то скалярное произведение положительно, если угол больше

± ¹ ¹

90 , то отрицательно. Вектор d перпендикулярен плоскости ¦ векторов a¹ и b, поэтому угол между c¹ и

¹ ± ±

d меньше 90 , если эти два вектора находятся по одну сторону от плоскости ¦, и угол больше 90 , если

 

¹

векторы находятся по разные стороны от этой плоскости. Однако, если вектора c¹ и d находятся по одну

¹

¹

сторону от плоскости ¦, то с точки зрения c¹ и с точки зрения d направление поворота от a¹ к b одно и то же.

 

¹

Если же вектора c¹ и d находятся по разные стороны плоскости ¦, то эти направления противоположны.

 

¹

Поэтому, если ¢ > 0, то с точки зрения c¹ поворот от a¹ к b происходит в ту же сторону, что и с точки

¹

¹ ¹

зрения d, т.е. против часовой стрелки (тройка fa;¹ b; dg правая). А если ¢ < 0, то с точки зрения c¹ поворот

¹

от a¹ к b происходит по часовой стрелке.

Компланарность. Компланарность трех векторов означает, что они не задают параллелепипед, т.е. объем „параллелепипеда\, построенного на них равен нулю. ¤

1

2

2. Приложения

Рассмотрим три обычные стереометрические задачи.

Пример 1. Пусть ABCD треугольная пирамида: A = (1; 1; 0), B = (2; ¡1; 1), C = (0; 2; ¡1), D = (¡1; 0; 2). Объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD, в 6 раз больше объема Vпир пирамиды. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

¯¯

1

 

2

1

¯¯

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vпир =

1

¡1

1

=

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

¯¯

¡2

 

1

¡2

¯¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¯

 

 

 

 

¯¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¯

¡

¡

 

 

¯¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Пусть

ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¯

 

 

 

A =¯¯

(1; 0; 1)

,

B = (2;

¡

1; 3)

,

C = (

¡

2; 2;

¡

1)

.

 

 

 

 

треугольник в пространстве:¯¯

 

¯¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь S треугольника равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

S =

2

¯£AB; AC

¤¯

= 2 j[(1; ¡1; 2); (¡3; 2; ¡2)]j =

 

2 j(¡2; ¡4; ¡1)j =

2

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найдем величину двугранного угла ' при ребре AB в пирамиде из первого примера. Двугранный угол между плоскостями ABC и ABD либо равен углу между вектором v¹, перпендикулярным ABC и вектором u¹, перпендикулярным ABD, либо сумма этих углов равна ¼ (теорема об углах с взаимно перпендикулярными сторонами). В качестве вектора v¹ можно взять вектор [AB; AC], а в качестве u¹ вектор [AB; AD]. Но равен ли угол между v¹ и u¹ двугранному углу?

 

 

Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

¢A

B(A)

 

 

 

 

B£A

Q

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

£ A

 

Q

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

£

 

A

 

QQQQQ

 

 

¢

A

 

 

 

£££

 

 

AAA

 

D

¢¢¢

AAA©©

 

 

 

 

 

»A »

»

»

 

H

 

u¹

 

£

 

»

¢

¢

 

 

¢ v¹HjH

A

A

 

£

»

 

A

 

 

 

 

 

¢

 

£

»

 

 

 

 

A

 

¢

 

¢

 

 

A

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A PPP

P

 

 

A

 

¢

 

¢

 

 

A

 

 

 

 

PPPA ¢

 

 

¢

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PA¢ C

 

C

¢

 

 

A

D

С нашей точки зрения повороты от вектора AB к вектору AC и от вектора AB к вектору AD происходят по часовой стрелке, поэтому векторные произведения v¹ и u¹ направлены от нас. На рисунке справа показана проекция пирамиды на плоскость, перпендикулярную оси BA. Следовательно, двугранный угол равен углу между векторами v¹ и u¹. Имеем:

v¹ = [(1; ¡2; 1); (¡1; 1; ¡1)] = (1; 0; ¡1); u¹ = [(1; ¡2; 1); (¡2; ¡1; 2)] = (¡3; ¡4; ¡5):

Таким образом,

1

 

2

 

' ¼ 78±:

cos ' =

p

 

¢ p

 

=

 

;

5

2

50

3. Прямая на плоскости

Прямая на плоскости xy задается уравнением

 

 

 

 

 

ax + by + c = 0;

(1)

которое мы будем называть общим уравнением прямой. На числа a; b; c накладывается единственное требование: a и b не могут одновременно равняться нулю.

Теорема 2. Уравнение (1) задает прямую ` на плоскости xy, причем эта прямая перпендикулярна вектору n¹ с координатами a и b, который называется нормальным вектором прямой.

Доказательство. Пусть точка A с координатами x0 и y0 удовлетворяет уравнению (1): ax0 + by0 + c = 0. Рассмотрим точку B с координатами x1 и y1. Если AB?n¹, то

0 = (AB; n¹) = (x1 ¡ x0)a + (y1 ¡ y0)b = ax1 + by1 + c ¡ (ax0 + by0 + c) = ax1 + by1 + c;

т.е. точка B удовлетворяет уравнению (1).

Обратно, если B удовлетворяет уравнению (1), то ax1 + by1 + c = 0. Поэтому

0 = ax1 + by1 + c ¡ (ax0 + by0 + c) = (x1 ¡ x0)a + (y1 ¡ y0)b = (AB; n¹):

¤

Сформулируем следствия Теоремы 1. Пусть даны две прямые `1 : a1x+b1y+c1 = 0 и `2 : a2x+b2y+c2 = 0, тогда

3

² `1 и `2 параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны, т.е. если a1b2 ¡ a2b1 = 0.

²`1 и `2 перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, т.е., если (¹n1; n¹2) = a1a2 + b1b2 = 0.

²Угол между `1 и `2 можно вычислять, как угол между векторами n¹1 и n¹2.

Следует отметить, что нет однозначного соответствия между прямыми и уравнениями вида (1): например, уравнения

x + y + 1 = 0; 2x + 2y + 2 = 0; ¡x ¡ y ¡ 1 = 0

описывают одну и ту же прямую. Если в (1) b 6= 0, то мы может перейти к эквивалентному уравнению

a

 

c

 

 

y = ¡

 

x ¡

 

;

(2)

b

b

которое мы будем называть уравнением с угловым коэффициентом (это именно тот вид уравнения прямой, который рассматривается в школе).

Общие уравнения имеют ряд преимуществ по сравнению с уравнениями с угловым коэффициентом. Одно из них состоит в том, что вертикальную прямую нельзя описать уравнением вида (2), но можно уравнением вида (1): ax + c = 0.

Другое преимущество общего уравнения состоит в том, что вместе с уравнением прямой ` : ax+by+c = 0 мы можем рассматривать функцию двух переменных f`(x; y) = ax+by+c, которую можно можно считать функцией точки на плоскости. Если

A = (x; y); то f`(A) = f`(x; y) = ax + by + c:

Эта функция обладает важным свойством.

Предложение. Знаки чисел f`(A) и f`(B) одинаковы, если точки A и B лежат по одну сторону от прямой `, и эти знаки разные, если A и B лежат по разные стороны.

Доказательство. Рассмотрим на плоскости точку A и опустим из нее перпендикуляр на `. Пусть точка C основание перпендикуляра. Тогда вектор CA коллинеарен нормальному вектору n¹, т.е.

CA = ¸ ¢ n¹ = (¸ a; ¸ b):

Пусть

C = (x0; y0); тогда A = (x0 + ¸ a; y0 + ¸ b):

Поэтому

f`(A) = a(x0 + ¸ ¢ a) + b(y0 + ¸ ¢ b) + c = ax0 + by0 + c + ¸(a2 + b2) = ¸(a2 + b2):

Знак f`(A) зависит от знака ¸. Если две точки A и B лежат в одной полуплоскости, и C и D основания перпендикуляров, опущенных из них на `, то вектора CA и DB не просто коллинеарны, но и направлены в одну сторону, т.е. в равенствах CA = ¸ ¢ n¹ и DB = ¹ ¢ n¹ числа ¸ и ¹ имеют одинаковые знаки. Если же A и B лежат в разных полуплоскостях, то вектора CA и DB направлены в противоположные стороны, и знаки чисел ¸ и ¹ противоположны. ¤

Это свойство хорошо работает в задачах о пересечении прямых с многоугольниками.

Пример. Рассмотрим 4ABC: A = (¡1; 2), B = (2; 5), C = (5; ¡1) и прямую ` : 5x+813 = 0. Пересекает ли ` треугольник ABC или нет? Вот решение.

f`(A) = ¡2 < 0; f`(B) = 37 > 0; f`(C) = 4 > 0:

Мы видим, что точки B и C лежат в одной полуплоскости, а точка A в другой. Поэтому ` пересекает стороны AB и AC треугольника 4ABC.

Соседние файлы в папке modules 1-2