Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
59
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
243.67 Кб
Скачать

Лекция 15. Определители

Мы уже встречались с определителями порядков 2 и 3. Теперь мы рассмотрим определители любого порядка, изучим их свойства и приемы вычисления.

1. Определение определителя

Определение 1. Определителем jAj квадратной n £ n матрицы A

a11

a12

 

a1n

C

A = B ... ...

... ...

0a21

a22

¢¢ ¢¢ ¢¢

a2n

1

Ba

a

 

a

C

@

n2

¢ ¢ ¢

 

A

B n1

 

nnC

называется рекуррентно определяемое число равное a11, если n = 1, и равное

Xn

jAj = a11jA11j ¡ a12jA12j + a13jA13j ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)1a1njA1nj = (¡1)1a1ijA1ij;

i=1

при n > 1. Здесь jA1ij это определитель (n ¡ 1) £ (n ¡ 1) матрицы A1i, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и i-го столбца.

Замечание. Другими словами, определитель n-го порядка определяется как сумма n определителей (n ¡ 1)-го порядка. Чтобы вычислить определитель пятого порядка мы должны найти пять определителей четвертого порядка, каждый из которых есть алгебраическая сумма четырех определителей третьего порядка (а определители третьего порядка мы вычислять умеем). Этот способ сведения определителя n-го порядка к определителям (n ¡ 1)-го порядка называется разложением по первой строке.

Пример.

¯

1

4

1

2 ¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

1

1

0

2

¯

 

¢ ¯

1

3

¡1 ¯

 

¢ ¯

¡2

3

¡1 ¯

¡ ¢ ¯

¡2

1

3 ¯

 

¯

¡2

1

3

¡1

¯

 

¯

3

1

0

¯

 

¯

2

1

0

¯

 

¯

2

3

1

¯

 

¯

2

¡3

1

 

¯

= 1

¯

4

1

2

¯

+ 1

¯

1

1

2

¯

2

¯

1

4

1

¯

:

¯

0 ¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предложение 1. jEnj = 1.

Доказательство. Последовательное разложение по первой строке дает jEnj = jE1j = ¢ ¢ ¢ = jE1j = 1. ¤

2. Определитель и элементарные преобразования

При вычислении числовых определителей помогают элементарные преобразования.

Теорема 1. Пусть A квадратная n £ n матрица и B = T (A), где T элементарное преобразование. Тогда:

(1)jBj = ®jAj, если T = T (i; ®);

(2)jBj = ¡jAj, если T = T (i; j);

(3)jBj = jAj, если T = T (i; j; ®).

Доказательство этого утверждения мы опустим.

Следствие. Если матрица A содержит две одинаковые строки, то jAj = 0.

Доказательство. С одной стороны, перестановка равных строк меняет знак определителя, с другой от перестановки равных строк матрица, а значит, и ее определитель не меняются. ¤

Следствие. Если матрица A содержит нулевую строку, то jAj = 0.

Доказательство. Если нулевая строка первая то равенство jAj = 0 вытекает из Определения 1. Если нулевая строка имеет номер i > 1, то рассмотрим матрицу B = T (1; i)(A). Тогда jAj = ¡jBj = 0. ¤

Теорема 1 позволяет проводить разложение определителя по любой строке (не обязательно первой).

Предложение 1. Рассмотрим j-ю строку матрицы A. Тогда

Xn

jAj = (¡1)i+jajijAjij; i=1

где Aji (n ¡ 1) £ (n ¡ 1)-матрица, полученная при вычеркивании из матрицы A j-й строки и i-го столбца.

1

2

Доказательство. Рассмотрим цепочку перестановок строк:

T (1;j)

(T (2;j¡1)

T (1;2)

A ¡¡¡¡¡¡!

¡¡¡¡¡¡¡¡! : : : ¡¡¡¡! B:

В результате этих перестановок первая строка A переместилась на второе место, вторая на третье, и

так далее, (j ¡ 1)-я на j-е, а j-я на первое. Тогда b1i = aji и B1i = Aji. Так как число перестановок равно j ¡ 1, то

n

 

n

n

X

(¡1)1b1ijB1ij = (¡1)1

Xi

X

jAj = (¡1)1jBj = (¡1)1

(¡1)1ajijAjij =

(¡1)i+jajijAjij:

i=1

 

=1

i=1

¤

3. Определитель и транспонирование

Как связаны между собой определители матриц A и At?

Теорема 2. jAj = jAtj.

Доказательство. В случае n = 2; 3 теорема очевидна (нетрудное вычисление). Мы подробно рассмотрим случай n = 4. Тем же способом теорему можно доказать для произвольного n.

Итак, пусть

A =

0b1

b2

b3

b4

1

; At =

0a2

 

B

a1

a2

a3

a4

 

B

a1

 

1

2

3

4C

 

4

 

@

c

c

c

c

A

 

@

a

 

Bd1

d2

d3

d4C

 

Ba3

Тогда

 

j

A

j

= a1

¯c2 c3 c4

¯

¡

a2 ¯c1

 

 

 

 

¯d

d

d

 

¯

 

¯d

 

 

 

 

 

 

¯

b2

b3

b4

¯

 

 

¯

b1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3 4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯b2

c2

d2

 

¯

 

 

¯a2

 

A

t

 

= a1

¯

 

 

 

 

d3

 

¯

 

b1

¯

 

 

j

 

j

¯b3 c3

¯

¡

¯a3

 

 

 

 

¯b

4

c

4

d

¯

 

¯a

4

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

4

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

c3 c4

¯

+ a3

¯c1

d

d

 

¯

 

 

¯d

b3

b4

¯

 

 

¯

b1

3

4

 

 

1

c2

d2

 

¯

 

 

¯

2

 

¯

 

 

a¯

 

 

 

¯

 

 

¯

 

c3

d3

¯

+ c1

¯a3

c

d

¯

 

 

¯a

4

4

4

¯

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

b1 b2 b3 b4

b2 c2 d2

b2 b3 b4

c2

 

d2

 

1

:

c1

 

d1

 

C

 

 

4

 

4

 

 

c

 

 

d

 

 

A

 

c3

 

d3

 

C

 

 

c4

¯

 

a4

¯c1

 

d

¯ ¡

 

 

¯d

 

 

b4

¯

 

 

 

¯

b1

 

 

4

 

 

 

1

d2

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

a¯2

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

d3

¯

¡

d1

¯a3

 

d

4

¯

 

 

¯a

4

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

c2

 

c3

¯

;

 

d

 

 

d

 

¯

 

 

b2

 

b3

¯

 

 

 

2

 

 

3

 

b2

 

c2

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

b

4

 

c

4

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

b3

 

c3

¯

:

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

Первое слагаемое в разложении jAj равно первому слагаемому в разложении jAtj, потому что At11 = (A11)t. Транспонируем остальные 3 £ 3 матрицы в этих суммах:

 

A

 

= a1

j

A11

j ¡

a2

¯b3

c3

d3

¯

+ a3

¯b2

c2 d2

¯

 

a4

¯b2

c2 d2

¯

;

 

 

j j

 

 

 

¯b

 

c

 

d

 

¯

 

¯b

 

c

 

d

 

¯ ¡

 

¯b

 

 

c

d

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

b1

c1

d1

¯

 

b1

c1

d1

¯

 

 

¯

b1

c1

d1

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

4

 

¯

4

4

 

4

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯a2

a3 a4¯

 

¯a2

a3

a4¯

 

 

¯ a2

a3

a4¯

 

 

 

A

t

 

= a1

 

A11

 

b1

¯

 

 

 

 

 

 

¯

+ c1

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

d1

¯

 

 

 

 

 

¯

¯

:

j

 

j

j

j ¡

¯c2 c3 c4

¯

¯b2 b3 b4

¯

¡

¯b2 b3 b4

 

 

 

 

 

¯d

2

d

d

¯

 

¯d

2

d

d

 

¯

 

¯c

2

c

c

4

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

3 4¯

 

¯

 

 

3

 

4

¯

 

 

¯

 

3

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

Теперь каждый из этих определителей¯третьего порядка¯ ¯

разложим¯по первой¯

строке¯и сравним слагаемые

в первом и втором равенствах. Каждое слагаемое есть определитель второго порядка с коэффициентомпроизведением двух элементов матрицы A со знаком. Теперь нетрудно заметить, что равным коэффициентам отвечают определители матрицы второго порядка (вверху) и ее транспонированной (внизу). Так коэффициент ¡a2d1 стоит при определителе

¯

b3

c3

¯

 

¯

b3

b4

¯

 

¯

 

c4

¯

вверху и при определителе

¯

 

c4

¯

внизу.

¯b4

¯

¯c3

¯

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

¯

¤

Замечание. Транспонируя матрицу, мы видим, что, во-первых, элементарные преобразования столбцов так же меняют определитель, как элементарные преобразования строк, и, во-вторых, определитель можно разлагать не только по строке, но и по столбцу.

¯i = >¡1;
:1;
8 >®;
<

3

4. Определитель и условие невырожденности

Совсем просто на языке определителей формулируется условие вырожденности/невырожденности матрицы.

Теорема 3. Если матрица A вырождена, то jAj = 0. Если матрица A невырождена, то jAj 6= 0.

Доказательство. Пусть цепочка элементарных преобразований T1; : : : ; Tk приводит матрицу A к главному ступенчатому виду B. Каждому преобразованию Ti отвечает умножение определителя на ненулевое число ¯i, где

если Ti = T (j; ®);

если Ti = T (j; k); если Ti = T (j; k; ®):

Значит jBj = ¯k ¢ ¢ ¢ ¯1jAj. Если матрица A вырождена, то у матрицы B есть нулевая строка, следовательно, jBj = 0 и jAj = 0. Если матрица A невырождена, то B = E, следовательно, jBj = 1 и jAj 6= 0. ¤

Следствие. Матрица обратима в том и только том случае, когда ее определитель не равен нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Определитель и обратная матрица

 

 

Мы знаем,

что сумма

 

 

n

( 1)i+ja

jij

A

jij

=

j

A

j

это разложение определителя по j-й строке. Чему

 

n

i+j

a

i=1

¡

 

 

 

 

j

 

равна сумма

 

i=1(¡1)

 

Pkij

jij, если

6

? Эта сумма есть разложение по

 

-й строке определителя

матрицы

B

которой все строки, кроме j-й, такие же, как у матрицы A, но j-я строка это k-я строка

 

, уP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицы A. Следовательно, у матрицы B j-я и k-я строки совпадают, т.е. ее определитель (а это наша сумма) равен нулю.

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

=jAj. Тогда C = A¡1.

 

 

Теорема 4. Рассмотрим матрицу C такую, что cij = (¡1)i+j

Aji

 

 

 

Доказательство. Обозначим через D произведение A на C. Тогда¯

¯

A ¯

 

jn¯

=

A

i=1(¡1)j+iaki Aji :

dkj = ak1c1j + ak2c2j + : : : + akncnj = ak1 ¡

A ¯

 

j1¯

+ : : : + akn

¡

 

 

 

( 1)1+j

A

¯

 

(

 

1)n+j

A

¯

 

1

 

n

 

 

 

 

j j¯

 

 

 

 

 

 

j j¯

 

 

j j

X

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

¯

Но, как мы знаем, эта сумма равна jAj, если k = j, и равна 0, если k 6= j. Но это в точности означает, что

D = E. ¤

Соседние файлы в папке modules 1-2