Algebra&Geometry / modules 1-2 / lect17

Лекция 17. Определители III

1.Определитель и ранг

Вэтом разделе будет объяснено, как найти ранг произвольной (не обязательно квадратной) матрицы

спомощью определителей. Сначала докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть A некоторая матрица ранга r. Тогда можно выбрать строк r матрицы A так, что матрица B, образованная этими строками, также будет иметь ранг r.

Доказательство. Действительно, те строки матрицы A, которые остались ненулевыми в главном ступенчатом виде, и образуют матрицу B. ¤

Определение 1. Подматрицей матрицы A называется матрица, полученная из матрицы A при удалении всех элементов из некоторых строк и некоторых столбцов.

Определение 2. Пусть A матрица размера m £ n. k-минором матрицы A (k 6 m, k 6 n) называется определитель произвольной k £ k-подматрицы матрицы A.

Лемма 2. Пусть A матрица размера m £ n и ранга r, причем r < m и r < n. Тогда любой k-минор матрицы A равен нулю, если k > r.

Доказательство. Пусть B k £ k-подматрица матрицы A, k > r, образованная строками s1; : : : ; sk и столбцами t1; : : : ; tk. Обозначим через C подматрицу матрицы A, образованную строками s1; : : : ; sk. Так как rk(C) 6 r, то цепочка элементарных преобразований приводит матрицу C ступенчатому виду D, причем матрица D содержит нулевую строку. Те же элементарные преобразования приводят матрицу B к матрице F , содержащей нулевую строку. Следовательно, jF j = 0. Но определитель матрицы B отличается от определителя матрицы F на ненулевой множитель. Значит, jBj = 0. ¤

Теорема 1 (теорема о базисном миноре). У любой матрицы A ранга r есть ненулевой r-минор.

Доказательство. Выберем r строк s1; : : : ; sr в матрице A так, чтобы матрица B, образованная этими строками, имела ранг r. Пусть t1; : : : ; tr главные столбцы матрицы B. Обозначим через C подматрицу матрицы B, образованную этими столбцами. Тогда цепочка элементарных преобразований, приводящая матрицу B к главному ступенчатому виду, приводит матрицу C к единичной матрице. Таким образом, ненулевой r-минор это определитель подматрицы, состоящей из элементов матрицы A, находящихся в строках с номерами s1; : : : ; sr и в столбцах с номерами t1; : : : ; tr. ¤

Замечание. Теорема о базисном миноре позволяет находить ранг не числовых матриц.

2. Определитель пятого порядка и объем треугольной пирамиды

Рассмотрим треугольник и занумеруем произвольным образом его вершины. Обозначим через aij, i < j, длину стороны, соединяющую i-ю и j-ю вершины. Построим определитель (определитель Кэли-Менгера)

Пусть площадь треугольника равна S, тогда ¡22(2!)2S2 = ¢. При этом, если ¢ > 0, то из отрезков длиной a12; a13; a23 треугольник сложить нельзя. Если ¢ = 0, то вершины „треугольника\ будут лежать на одной прямой.

Замечание. Эта формула есть просто формула Герона.

Оказывается, аналогичная формула есть для треугольной пирамиды. Припишем номера 1, 2, 3, 4 вершинам пирамиды (произвольным образом). Обозначим через aij, i < j, длину стороны, соединяющую i-ю и j-ю вершины. Определитель Кэли-Менгера в этом случае имеет вид:

1