Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT14
.pdfЛекция 14. Умножение и ранг. Обратная матрица
1. Умножение и ранг
Установим теперь связь между рангом произведения двух матриц и рангами сомножителей.
Теорема 1. Пусть C = AB, тогда rk(C) 6 rk(A) и rk(C) 6 rk(B).
Доказательство. Пусть rk(A) = r и T1; : : : ; Tk цепочка элементарных преобразований, приводящая A к ступенчатой матрице D. Тогда D содержит ровно r ненулевых строк и
D = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)A;
где E(Ti) соответствующие элементарные матрицы. Применим те же преобразования и в том же порядке к матрице C. Имеем,
E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)C = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)AB = DB
(здесь использовалась ассоциативность произведения). Из определения произведения матриц вытекает, что строки матрицы DB с номерами > r нулевые. Следовательно, ранг DB не превышает r. Но rk(C) = rk(DB), так как матрица DB получена из C цепочкой элементарных преобразований. Значит, rk(C) 6 r = rk(A).
Теперь докажем, что rk(C) 6 rk(B). Имеем, rk(C) = rk(Ct) = rk(BtAt) 6 rk(Bt) = rk(B). ¤
Определение 1. Квадратная n£n матрица называется невырожденной, если ее ранг равен n, и называется вырожденной, если ее ранг меньше n.
Замечание. Главный ступенчатый вид невырожденной n £ n матрицы это единичная матрица En. Замечание. Если матрица A невырождена, то и матрица At тоже невырождена.
Если в произведении один из сомножителей невырожденная матрица, то Теорему 1 можно уточнить.
Теорема 2. Пусть A невырожденная матрица, тогда rk(AB) = rk(B) и rk(BA) = rk(B). Доказательство. В обозначениях доказательства Теоремы 1 имеем:
rk(C) = rk(DB) = rk(B);
потому что D = E.
Пусть F = BA. Тогда
rk(F ) = rk(F t) = rk(AtBt) = rk(Bt) = rk(B):
¤
2. Обратная матрица
Введем важное понятие.
Определение 2. Квадратная n £ n матрица A называется обратимой, если существует такая квадратная матрица B, что AB = BA = En. Тогда матрица B называется обратной к A и обозначается A¡1.
Не каждая матрица имеет обратную.
Пример. Пусть |
µ1 |
1¶ |
и B = |
µz u¶ |
; тогда AB = |
µx + z |
y + u¶ |
: |
A = |
||||||||
|
1 |
1 |
|
x y |
|
x + z |
y + u |
|
Мы видим, что у матрицы AB элементы в первом столбце одинаковы. Поэтому матрица AB никогда не может быть единичной, так как у единичной матрицы элементы первого столбца различны.
Мы выведем критерий существования обратной матрицы и построим алгоритм ее вычисления. Начнем с простого, но полезного утверждения.
Предложение 1. Пусть A квадратная матрица, и существуют квадратные матрицы B и C такие, что AB = CA = E. Тогда B = C = A¡1.
Доказательство. Имеем,
C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B:
¤
Теперь докажем теорему.
Теорема 3. Квадратная матрица обратима в том и только том случае, когда она невырождена.
Доказательство. Пусть A вырожденная (n £ n)-матрица. Тогда rk(A) < n и rk(AB) 6 rk(A) < n. Следовательно, матрица AB также вырождена и, значит, не может быть единичной.
1
2
Пусть теперь матрица A невырождена, и T1; : : : ; Tk цепочка элементарных преобразований, приводящих A к главному ступенчатому виду: E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)A = E. Тогда BA = E, где B = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1).
С другой стороны, матрица At тоже невырождена, следовательно, она приводится к главному ступенчатому виду E цепочкой элементарных преобразований S1; : : : ; Sl: E(Sl) ¢ ¢ ¢ E(S1)At = E. Тогда CAt = E, где C = E(Sl) ¢ ¢ ¢ E(S1). Поэтому, ACt = Et = E. Осталось воспользоваться Предложением 1. ¤
Построение обратной матрицы. Из
T1; : : : ; Tk цепочка элементарных
То-есть,
A¡1
доказательства Теоремы 3 вытекает, что A¡1 = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1), где преобразований, приводящих A к главному ступенчатому виду E.
= E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1) = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)E:
Это означает, что обратная матрица получается из единичной теми же элементарными преобразованиями, которые приводят исходную матрицу к единичной, и в том же порядке. Например,
|
1 |
1 |
T (1;2; |
1) |
1 |
1 |
T (2;1; 1) |
1 |
0 |
|
A = µ1 |
2¶ |
¡¡¡¡¡¡¡! |
µ0 |
1¶ ¡¡¡¡¡¡¡! |
µ0 |
1¶ = E; |
||||
и |
1 |
|
|
1 |
0 |
¶ |
|
2 |
1 |
¶ = A¡1: |
0 |
T (1;2; |
1) |
T (2;1; 1) |
|||||||
E = µ1 |
0¶ ¡¡¡¡¡¡¡! µ |
¡1 |
1 |
¡¡¡¡¡¡¡! µ |
¡1 |
¡1 |
Удобно эти преобразования делать не два раза, но один: пусть A (n £ n)-матрица, а B (n £ 2n)- матрица, у которой первый n £ n блок это A, а второй n £ n блок это En. Приведем B к главному
ступенчатому виду. Тогда в первом блоке будет единичная матрица, а во втором обратная. Например |
||||||||||||||||||
B = |
µ1 |
2 |
0 |
1¶ |
¡¡¡¡¡¡¡! |
µ |
0 |
1 |
¡1 |
1 |
¶ |
¡¡¡¡¡¡¡! |
µ |
0 |
1 |
¡1 |
¡1 |
¶: |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
T (1;2; 1) |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
T (2;1; 1) |
|
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|