Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
63
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
229.93 Кб
Скачать

Лекция 14. Умножение и ранг. Обратная матрица

1. Умножение и ранг

Установим теперь связь между рангом произведения двух матриц и рангами сомножителей.

Теорема 1. Пусть C = AB, тогда rk(C) 6 rk(A) и rk(C) 6 rk(B).

Доказательство. Пусть rk(A) = r и T1; : : : ; Tk цепочка элементарных преобразований, приводящая A к ступенчатой матрице D. Тогда D содержит ровно r ненулевых строк и

D = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)A;

где E(Ti) соответствующие элементарные матрицы. Применим те же преобразования и в том же порядке к матрице C. Имеем,

E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)C = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)AB = DB

(здесь использовалась ассоциативность произведения). Из определения произведения матриц вытекает, что строки матрицы DB с номерами > r нулевые. Следовательно, ранг DB не превышает r. Но rk(C) = rk(DB), так как матрица DB получена из C цепочкой элементарных преобразований. Значит, rk(C) 6 r = rk(A).

Теперь докажем, что rk(C) 6 rk(B). Имеем, rk(C) = rk(Ct) = rk(BtAt) 6 rk(Bt) = rk(B). ¤

Определение 1. Квадратная n£n матрица называется невырожденной, если ее ранг равен n, и называется вырожденной, если ее ранг меньше n.

Замечание. Главный ступенчатый вид невырожденной n £ n матрицы это единичная матрица En. Замечание. Если матрица A невырождена, то и матрица At тоже невырождена.

Если в произведении один из сомножителей невырожденная матрица, то Теорему 1 можно уточнить.

Теорема 2. Пусть A невырожденная матрица, тогда rk(AB) = rk(B) и rk(BA) = rk(B). Доказательство. В обозначениях доказательства Теоремы 1 имеем:

rk(C) = rk(DB) = rk(B);

потому что D = E.

Пусть F = BA. Тогда

rk(F ) = rk(F t) = rk(AtBt) = rk(Bt) = rk(B):

¤

2. Обратная матрица

Введем важное понятие.

Определение 2. Квадратная n £ n матрица A называется обратимой, если существует такая квадратная матрица B, что AB = BA = En. Тогда матрица B называется обратной к A и обозначается A¡1.

Не каждая матрица имеет обратную.

Пример. Пусть

µ1

1

и B =

µz u

; тогда AB =

µx + z

y + u

:

A =

 

1

1

 

x y

 

x + z

y + u

 

Мы видим, что у матрицы AB элементы в первом столбце одинаковы. Поэтому матрица AB никогда не может быть единичной, так как у единичной матрицы элементы первого столбца различны.

Мы выведем критерий существования обратной матрицы и построим алгоритм ее вычисления. Начнем с простого, но полезного утверждения.

Предложение 1. Пусть A квадратная матрица, и существуют квадратные матрицы B и C такие, что AB = CA = E. Тогда B = C = A¡1.

Доказательство. Имеем,

C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B:

¤

Теперь докажем теорему.

Теорема 3. Квадратная матрица обратима в том и только том случае, когда она невырождена.

Доказательство. Пусть A вырожденная (n £ n)-матрица. Тогда rk(A) < n и rk(AB) 6 rk(A) < n. Следовательно, матрица AB также вырождена и, значит, не может быть единичной.

1

2

Пусть теперь матрица A невырождена, и T1; : : : ; Tk цепочка элементарных преобразований, приводящих A к главному ступенчатому виду: E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)A = E. Тогда BA = E, где B = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1).

С другой стороны, матрица At тоже невырождена, следовательно, она приводится к главному ступенчатому виду E цепочкой элементарных преобразований S1; : : : ; Sl: E(Sl) ¢ ¢ ¢ E(S1)At = E. Тогда CAt = E, где C = E(Sl) ¢ ¢ ¢ E(S1). Поэтому, ACt = Et = E. Осталось воспользоваться Предложением 1. ¤

Построение обратной матрицы. Из

T1; : : : ; Tk цепочка элементарных

То-есть,

A¡1

доказательства Теоремы 3 вытекает, что A¡1 = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1), где преобразований, приводящих A к главному ступенчатому виду E.

= E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1) = E(Tk) ¢ ¢ ¢ E(T1)E:

Это означает, что обратная матрица получается из единичной теми же элементарными преобразованиями, которые приводят исходную матрицу к единичной, и в том же порядке. Например,

 

1

1

T (1;2;

1)

1

1

T (2;1; 1)

1

0

 

A = µ1

2

¡¡¡¡¡¡¡!

µ0

1¡¡¡¡¡¡¡!

µ0

1= E;

и

1

 

 

1

0

 

2

1

= A¡1:

0

T (1;2;

1)

T (2;1; 1)

E = µ1

0¡¡¡¡¡¡¡! µ

¡1

1

¡¡¡¡¡¡¡! µ

¡1

¡1

Удобно эти преобразования делать не два раза, но один: пусть A (n £ n)-матрица, а B (n £ 2n)- матрица, у которой первый n £ n блок это A, а второй n £ n блок это En. Приведем B к главному

ступенчатому виду. Тогда в первом блоке будет единичная матрица, а во втором обратная. Например

B =

µ1

2

0

1

¡¡¡¡¡¡¡!

µ

0

1

¡1

1

¡¡¡¡¡¡¡!

µ

0

1

¡1

¡1

:

 

1

1

1

0

T (1;2; 1)

 

1

1

1

0

 

T (2;1; 1)

 

1

0

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке modules 1-2