Определение 30. Матрица (3.5) называется матрицей Якоби, а ее определитель (опреде-

(1

,…, u )

ленный, когда = ) — якобианом. Обозначения:

det( ) = ( ) = (3.4)=

имеет строк и

столбцов.

В общем случае матрица Якоби отображения

( 1

,…, u )

→

(3.5)

= 1,..., u ; 1,..., u

Теорема 45. Пусть в пространствах

выбраны координаты, и отображение

задается непрерывно дифференцируемымиu u

функциями (3.4). Тогда дифферен-

циалuотображенияu

существует, и в

координатах

задается

→

якобиевой матрицей

.

Определение 31. Точка называется критической для отображения

u → u

, если в

ней якобиан равен нулю.

( )

32. Рангом отображения в точке называется ранг дифференциала

Определение.

1. =

2. =

3.(,)( ,

2

)

Примеры. Найти дифференциалы и критические точки отображений:

Определение 33. Диффеоморфизмом называется биективное отображение, дифферен-

цируемое (класса

1) вместе с обратным.

→

оператора

10.4. Норма линейного

Пусть u

u

u — линейный оператор.

и u — евклидовы пространства,

Теорема 46. Норма линейного

|| || = max| |.

Определение 34.

Норма

определяется равенством:

всегда существует.

оператора|uв|=1конечномерном евклидовом пространстве

Ω

,

Ω

10.5. Теорема о конечном приращении

|| || | − |.

u в

u . Тогда

Следствие 6.

| ( ) − ( )| ≤ max[u ,u ]

Теорема,

47. Пусть

—

1

-отображение выпуклой области