4 Несобственные интегралы

равна

[ , ]

ломаных при стремлении к нулю длины их максимальных звеньев.

Теорема 23. Длина графика дифференцируемой функции ,

заданной на отрезке

.

= ∫

u √

1 + (

′

( ))

2

u

Теорема 24. Длина кривой

, заданной отображением

отрезка [0,1] в Евклидово про-

странство u , равна

c) их линейные комбинации.

u

u

(1.2)

) если ( , ], < , то

Эти интегралы определяются так:

( ) ;

∫ ( ) = ulim ∫

) если [ ,±∞), то

u

→0

+

u +u

∫

±∞

( ) = u lim

∫

u

( )

ности) на.

u

→±∞

u

(1.3)

линейные комбинации интегралов

) и ) определение распространяется по линей-

Примеры.

1)

∫

1

ln = limu

∫

1

ln = (ln − 1)

1

= −1.

0

∞

u

arctg

u

= .

0

2)

∫−∞

2

+ 1

= ulim

−u

→∞

дел (1.2) или (1.3) для

| |

вместо

, и условно в противном случае.

Примеры.

∫

2

1

∞

абсолютно сходится

∫∞

расходится

∫∞ sin

1

сходится условно, но не абсолютно.

4.4. Теорема сравнения1

[ ,∞)

> 0

| ( )| < ( )

мажорирует

на ), если существуют

Определение 14.

Скажем,

что

при

на

(

такие

и

, что

( )

∞

∫u

∞

b

если интеграл

∫u∞

расходится, то

∞( )

Теорема

25.

Пусть

мажорирует

на

. Тогда:

∫u

( )

Эта теорема

∫u

( )

то интеграл

a

если интеграл

∞

сходится

,

∞

∞

1.

∫1

u

2015(

интеграл

тоже расходится.

( )∞ =

является основным средством при установлении сходимости интегралов.

u

,

=

2016

u

Примеры.

∞

(ln u )2015

сходится, поскольку подинтегральная функция мажорирует-

−u2.u ∫,1 =

2016

степень сильнее логарифма).

( ) =

ся

1+u1

2015

1+

сходится, поскольку подинтегральная функция мажорируется

2015

−(экспонента сильнее степени).