Lectures_all
.pdfЭкономика и математика футбола
Автор курса: Дмитрий Дагаев Автор записей: Андрей Зубанов
18 марта 2015 г.
Оглавление
1
Глава 0.
Структура курса
Преподаватель: Дагаев Дмитрий Александрович. Email: ddagaev@gmail.com
Курс ид¼т до 19 марта.
Итог = 0,5*Экзамен+0,3*Контрольная работа+0,2*Активность. На экзамен можно принести лист A4 с записями.
Литература: Dobson, Goddard The economics of football. Структура курса:
1)Футбольные лиги
2)Теория контрактов
3)Выработка стратегии на матч
4)Пенальти
5)Составление расписания
6)Букмекерский рынок
2
Глава 1.
Структура футбольных лиг15.01.2015
Авторы по теме: Stefan Szymanski, Kessane, Vrooman [ ?].
Пусть есть некоторый пул футболистов, а талант конкретного фут- болиста . Рассмотрим экономику, состоящую из двух фирм, то есть двух команд. Функция прибыли зависит от доли таланта в команде по отношению ко всему пулу и от размера рынка, в качестве которого может браться потенциальная аудитория, например, это может быть напрямую связано с размером города, в котором играет команда.
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
( |
=1 |
) |
∑
где размер рынка для фирмы . Будем предполагать, что прибыль фирмы является просто произведением величин, то есть:
= ∑ =1
цена единицы товара равна постоянна и фиксирована.
1.1. Случай 1. Открытая лига.
Цена футболистов в случае открытой лиги фиксирована.
|
( |
, |
) = |
|
1 1 |
− |
|
1 −→ |
max |
|
1 + 2 |
||||||||||
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|||||
|
( |
, |
) = |
|
2 1 |
− |
|
2 −→ |
max |
|
1 + 2 |
||||||||||
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|||||
Условия первого порядка:
− 1 1 + 1( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
3
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ФУТБОЛЬНЫХ ЛИГ |
15.01.2015 4 |
− 2 2 + 2( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
Отсюда легко видеть, что 1 2 = 2 2 |
èëè |
|
1 |
= |
1 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом, |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
|
= èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( 1+ 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
= ( 1 + 2)2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 = 2(1 + |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Èòàê, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(1 + |
1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(1 + |
2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 22 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( 1 + 2)2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( 1 + 2)2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
И можно убедиться, что чем выше объ¼м своего рынка, тем больше таланта фирме следует нанять.
Есть два основных параметра лиг, которые могут характеризовать зрелищность.
1)= 1 + 2 общий объ¼м таланта,
2)= 12 competitive balance.
1.2. Случай 2. Закрытая лига.
Фиксирован пул талантов, но меняется цена .
1 −→ max 1>0
2 −→ max 2>0
. . 1 + 2 =
Условия первого порядка аналогичны.
− 1 1 + 1( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ФУТБОЛЬНЫХ ЛИГ |
15.01.2015 5 |
− 2 2 + 2( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
здесь выбирается на рынке. Значит,
1 + 2 = |
1 22 + 2 12 |
= |
|
( 1 + 2)2 |
|||
|
|
1 2= ( 1 + 2)
↑ ↓, 1 ↑ ↑, 1 ↑ ↑.
Найд¼м оптимальный объ¼м таланта в закрытой лиге.
1 = |
1 |
||
1 |
+ 2 |
||
|
|||
2 = |
2 |
||
1 |
+ 2 |
||
|
|||
Какой будет оптимальный уровень перераспределения в лиге? Возьм¼м некоторую долю прибыли каждой из команд и забер¼м в фонд лиги, а затем из фонд лиги разделим поровну между командами. Тогда новую прибыль можно записать как:
^ |
|
1 1 |
+ (1 − ) |
2 2 |
1 |
( 1, 2) = |
|
|
|
1 + 2 |
1 + 2 |
где [0, 1] параметр перераспределение, чем он больше, тем выше
уровень перераспределения. Условие первого порядка:
1 2 |
− |
(1 − ) 2 2 |
= |
|
( 1 + 2)2 |
( 1 + 2)2 |
|||
|
èëè
2( 1 − (1 − ) 2) = ( 1 + 2)21( 2 − (1 − ) 1) = ( 1 + 2)2
1 = 2 1 − (1 − ) 22 − (1 − ) 1
примем обозначение { = 1−(1− ) 2 .
2−(1− ) 1
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ФУТБОЛЬНЫХ ЛИГ |
|
|
|
15.01.2015 6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(1 − ) 2 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1 + {)2 2 |
− (1 + {)2 2 |
− |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
1 − (1 − ) 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + {)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + { = |
|
( 1 + 2)(2 − 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 − (1 − ) 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 = |
|
( 2 − (1 − ) 1)2( 1 − (1 − ) 2) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + 2)2(2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 = |
|
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2)2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + 2)2(2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 + 2 |
= |
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2)(2 − 1)( 1 + 2) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + 2)2(2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 + 2 |
|
= |
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + 2)(2 − 1) |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача максимизации таланта в таком случае: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
= |
( 2 |
− (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2) |
←→ |
max |
|
[0, 1] |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
( 1 + 2)(2 − 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||
если построить график, то будет видно, что уходит в функция уходит в бесконечность тогда и только тогда, когда → 12 − 0.
Альтернативная постановка задачи. Если же болельщики любят сбалансированные матчи, то в качестве дохода можно иногда рассматри-
âàòü: |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
~ |
|
+ (1 − ) |
|
||||
1 |
( 1, 2) = 1( |
|
|
|
|
) |
|
1 + 2 |
1 + 2 |
1 + 2 |
|||||
где чем меньше , тем больше болельщики любят сбалансированные мат-
֏.
Можно также ограничивать расходы. Пусть можно тратить на трансферы не очень много не более доли от своих доходов. Тогда задачу
можно записать в виде:
{
( 1, 2) − 1 −→ max 1. . 1 6 ( 1, 2)
Дело Боссмана дело об отмене платы за трансфер после истечения контракта. Дело Семутенкова дело против ограничения лимита на легионеров не из Евросоюза в европейских лигах.
Глава 2. |
|
Ранговые турниры |
22.01.2015 |
Почему футболисты высокого класса стоят несоразмеримо дороже? Например, потому что можно выпустить лишь 11 игроков. Суперзв¼зды получают больше в том числе потому, что нельзя на их место поставить 10 игроков с квалификацией в десять раз меньше. Об эконо-
мике суперзв¼зд: [?].
Покупая игроков мы получаем не пропорционально, нет пропорций в призах. За первое могут давать много, за второе немного, а за третье почти ничего. Асимметрия в призах может вызывать это.
Ранговые турниры (rank-order tournaments)
Пусть есть 1 команда и 2 футболиста. Они два конкурента за позицию на поле. Бюджет фиксирован. Клуб заинтересован в высокой оплате того кто играет в старте, и клуб так может влиять на стимулы тренироваться.
Опишем схему оплаты. Пусть тот, кто выходит получает , à òîò, кто на скамейке .
Допустим, что
>
.
Игроки агенты и выбирают уровень усилий на тренировках. Уровни тренировок 1 è 2 соответственно. Есть и издержки. Будем считать,
что 'ый футболист выбирает уровень усилий , при этом издержки рав- ны ( ). Наложим условия: ′(·) > 0, ′′(·) > 0.
Реальная форма . Будем предполагать, что
= +
Пусть [0, 1].
Вопросы. Каков оптимальный контракт (с точки зрения клуба)? Кто будет прилагать больше усилий?
7
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ |
22.01.2015 8 |
Пусть = + . Ожидаемые платежи:
1( 1, 2) = + (1 − ) − 1( 1)
вероятность того, что первый футболист попад¼т в стартовый состав.
= P( 1 > 2) = P( 1 + 1 > 2 + 2) = P( 2 − 1 > 1 − 2)
Òàê êàê 1, 2
2.1.Лирическое отступление: сумма равномерных распределений
( ) = P( 1 − 2 |
6 ) = |
{1 |
2 |
(1− )2 |
,, if |
0− 1 << <10 |
|
|
|
|
(1+ )2 |
if |
|
||
|
|
|
|
− |
|
6 − |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
1 − 2 6 . Рассмотрим совместное распределение, нарисуем квадрат, тогда в [−1, 1] будет график высекать треугольник, отношение этого тре-
угольника или фигуры, дополняющее его, к площади квадрата и будет давать вероятность. 2
= 1 − P( 1 − 2 6 2 − 1) = 1 − ( 2 − 1)
Каждый футболист будет получать: Пусть 1( 1) = 1, 2( 2) = 2 2
1( 1, 2) = (1 − ( 2 − 1)) + ( 2 − 1) − 21
2( 1, 2) = ( 2 − 1) + (1 − ( 2 − 1)) − 2 22
Условия первого порядка:
{
′( 2 − 1) − ′( 2 − 1) − 2 1 = 0
′( 2 − 1) − ′( 2 − 1) − 4 2 = 0
{
1 = 2 2
′( 2 − 1)( − ) − 4 2 = 0
{
1 = 2 2
′(− 2)( − ) − 4 2 = 0
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ |
|
|
|
22.01.2015 9 |
|
|
1 + , |
|
[ 1, 0] |
−1) |
|
|
0, |
(−∞, |
|||
′( ) = |
|
|
− |
|
|
|
1 , |
|
[0, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
0, |
(1, +∞) |
|||
Функция симметричная, рассматриваем только два случая. Случай 1. (−∞, −1), −4 2 = 0.
Случай 2. [−1, 0].
|
(1 − 2)( − ) − 4 2 = 0 |
||||||||||
|
|
|
2 = |
− |
|
|
|||||
|
|
|
− + 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 = |
2( − ) |
|
||||||
|
|
|
− + 4 |
||||||||
|
{ . . |
||||||||||
|
+ |
= |
|
|
|||||||
|
|
|
1 + 2 |
−→ max 1 |
, 2 |
||||||
|
3 |
− |
|
−→ |
max |
||||||
|
− + 4 |
||||||||||
|
|
|
1, 2 |
||||||||
|
3 |
|
2 − |
|
|
|
max |
||||
|
|
2 − + 4 −→ [0,1] |
|||||||||
2 − + 4 |
|
( |
− 2 − + 4) |
||||||||
3 |
2 − |
|
= 3 1 |
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Это гипербола, максимизация достигается при максимально возможном
, è = .
При фиксированном бюджете нужно весь бюджет платить тому, кто играет.
Но вообще, обычно футболисты имеют какой-нибудь вариант вне клу-
ба, тогда появляется ограничение > , и будем платить = .
2.2. Задача
Пусть в лиге существуют два клуба с бюджетами 1, 2, а вероят-
ность победы команды 1 равна 1 = 1 .
1+ 2
Пусть есть призовой фонд прибыль от привлеч¼нных болельщиков.
1( 1, 2) = ( 1 + 2) − | 1 − 2|.