Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lectures.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

131.83 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Лекции по математическому анализу, 1 курс, 2 семестр

Лектор: Ю. С. Ильяшенко

зима–весна 2015

Оглавление

1 Интегральное исчисление			5
1	Интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		5
	1.1	Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5

1.2Задача о площадях: интеграл Римана2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3Свойства интегральных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4Доказательство основной теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5

Добавления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2Формула Ньютона–Лейбница и элементарные методы интегрирования . . . . 6 2.1 Интеграл с переменным верхним пределом . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2	Формула замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2.3	Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7

2.4Свойства интеграла Римана: линейность и аддитивность . . . . . . . . 7

2.5	Табличные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6Графическое интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7Алгебраические методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

	2.8	Алгебраические методы интегрирования: алгоритмы . . . . . . . . . .	8
3	Алгебраические методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		9
	3.1	Напоминание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9

3.2Тригонометрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

. .√. . (. .) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4Рациональные функции от тригономет2 рических . . . . . . . . . . . . . 10

3.5Рациональные функции от и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.6 Рациональность квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1Длина кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2	Определение несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
4.3	Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
4.4	Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
2 Элементарные функции комплексного переменного		13

5Комплексные логарифм и экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1Определение и свойства вещественного логарифма и экспоненты, по Колмогорову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2В гостях у Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3Комплексный логарифм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.4Производные функций комплексного переменного . . . . . . . . . . . . 13

5.5Производные многочлена, логарифма, экспоненты . . . . . . . . . . . . 14

5.6	Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.7Логарифм и арктангенс — близнецы-братья . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Оглавление
6–7 Индекс векторного поля. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . .		15
6–7.1	Индекс векторного поля вдоль замкнутой кривой . . . . . . . . . . . .	15
6–7.2	Индекс особой точки векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
6–7.3	Теорема о сумме индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
6–7.4 Дама с собачкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		16
6–7.5 Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		16
3 Функции многих переменных		17

8Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.1Определение непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.2Напоминание: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.3Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.4Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.5Производная функции вдоль вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.6Производные по Гато и Фреше. Частные производные . . . . . . . . . . 18

8.7Частные производные и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.8Достаточное условие дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 Градиент. Старшие производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9.1Норма линейного функционала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9.2Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9.3Теорема о конечном приращении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.4	Необходимое условие наличия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . .	19
9.5	Старшие производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19

9.6Теорема о равенстве смешанных производных . . . . . . . . . . . . . . 19

10Дифференциал отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10.1 Определение дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10.2 Якобиева матрица и якобиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10.3Критические точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.4Норма линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.5Теорема о конечном приращении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.6Теорема о дифференцировании сложной функции . . . . . . . . . . . . 21

1 Интегральное исчисление

Лекция 1. Интеграл Римана

1.1. Первообразная

Определение 1. Первообразной для данной функции					называется такая функция	, что
её производная равна данной функции:		′		.
Теорема 1.	Две первообразные одной функции отличаются на константу.
Теорема 1.			=
Основная теорема 1. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.
Соглашение 1. По умолчанию, все области определения — интервалы.

1.2. Задача о площадях: интеграл Римана

Определение 2. Разбиение отрезка

[ , ],

— это множество

длину.

;

как отрезок, так и его

, u

= , u < u+1

; diam = maxΔu ;

u = [ u −1

, u ]

}

Определение 3. Говорят, что набор

= { 1,…, u

совместим с разбиением , если

Определение 4. Интегральной суммой,

соответствующей функции

, разбиению

u .

набору

(по умолчанию — совместимому с

), называется число:

Определение 5.

Интеграл Римана

это предел

( , , ) = ∑ ( —)Δ .

= ∫uu ( )

Основная теорема 2.

Всякая непрерывная функция на отрезке интегрируема по Ри-

ману.

lim

( , , ).

1.3. Свойства интегральных сумм

Определение 6.

— это верхняя и

нижняя

интегральные суммы,

соответствующие функции и разбиению .

+( , ) = ∑max

u , −( , ) = ∑min

Предложение 2.

−

, если

Определение 7.

Рабиение

является измельчением разбиения

, ,

( , ) ( , , )

( , )

Предложение 3.

При измельчении разбиения верхняя интегральная сумма не увеличи-

вается, а нижняя не уменьшается.

1 Интегральное исчисление

Предложение 4. Любая нижняя интегральная сумма (нестрого) меньше любой верхней

ство min[u ,u ] ( − ) ( ,, )

(для одной и той же функции).

Предложение 5. Для любой функции , разбиения

и набора

, выполняется неравен-

[ ,]

1.4. Доказательство основной теоремы

Положим: ≥ min[u ,u ] · ( − ),.

max[u ,u ] · ( − )

на

и — множества значений всех верхних (

соответственно, нижних) сумм для

Лемма 7.

= .inf,

= sup

Лемма 6.

Основная

= = = ∫u

( )

Лемма 8.

Лемма 9.

теорема 2 доказана.

1.5. Добавления

Теорема 10. Всякая кусочно непрерывная функция интегрируема по Риману.

Примеры. 1. Функция Дирихле

= u |[u ,u ]

не интегрируема по Риману.

2. Функция Римана интегрируема по Риману — докажите!

Лекция 2. Формула Ньютона–Лейбница и элементарные методы интегрирования

Следствие 1 (Формула Ньютона

–Лейбница).

( ) = ∫u

( )

2.1. Интеграл с переменным верхним пределом

′ =

′

Теорема 11. Пусть функция непрерывна, и

. Тогда

Если

непрерывна, то

∫u ( ) = ( ) − ( ).

На житейский язык эта формулаu переводится следующим образом:

Путь, пройденный с переменной скоростью от момента времени

до момента

равен площади под графиком скорости над отрезком

[ ,]

Следствие 2 (Основная теорема 1). Всякая непрерывная

функция имеет первообразную.

2 Формула Ньютона–Лейбница и элементарные методы интегрирования

Теорема 13.		∫ · ( ) =			= ∫
2.2. Формула замены переменной
Теорема 12.		′		, где		.
			∫u = ∫u (u ) ( )				(1.1)
если	— диффеоморфизм.		u		u (u )
если	— диффеоморфизм.		u		u (u )

На формуле (1.1) основан метод замены переменной.

2.3. Интегрирование( )′по= частям′ + ′

Формула Лейбница влечёт:

∫ = − ∫

На этой тривиальной∫ ln =формулеln −основанln =мощный(ln −метод1) + интегрирования.

Примеры.,1. 2, (0) = (0) = (1) = (1) = 0.

2. Пусть Тогда

∫0 1 ″ = ∫0 1 ″

Интеграл Римана может быть

∫

( ( ) + ( )) =

∫

( ) +

∫

( )

2.4. Свойства интеграла Римана: линейность и аддитивность

Теорема 14 (линейность интеграла).

[ , ], <

определёнu

на отрезке

= {

,…,

= ,

но=

. В последнем случае он, по определению, равен нулю. В первом случае разбиением

u +1

точек

u +1

отрезка

[ ,]

, называется по-прежнему набор

[ ,]

по

, требуется:

. Все остальные

вместо условия

, налагавшегося при

определения интегральных сумм и интегралов остаются прежними.

Отрезок

при

(соответственно,

называется положительно (соответствен-

) <

но, отрицательно) ориентированным. Заметим, что интеграл от положительной функции

отрицательно ориентированному отрезку отрицателен.
Теорема 15 (аддитивность интеграла). Пусть ([ ,] [ ,]). Тогда
∫u ( ) + ∫u ( ) = ∫u ( )
u	u	u

Заметим что теорема верна независимо от порядка точек ,, на прямой.

Теоремы 14 и 15 доказываются с помощью проверки аналогичных утверждений для интегральных сумм (она тривиальна), с последующим переходом к пределу.

1 Интегральное исчисление

2.5. Табличные интегралы
	∫ u = u +1							+ , ≠ −1
			u		+u	1
	∫					+ , +
					= ln
∫		sin			= −cos +
∫	1	1		2	= 1 ln		1 + +
		−			2		1 −
∫	√1	1− 2			= arcsin +

∫= ln| | +

∫u u = 1 u u + ,

∫cos = sin +

∫1 +1 2 = arctg +

∫√11+ 2 = ln( + √1 + 2) +

Эти формулы нужно будет обосновать на занятиях.

2.6. Графическое интегрирование

По графику функции часто можно нарисовать приблизительный график первообразной. Примеры нарисованы на лекции.

2.7. Алгебраические методы интегрирования

Теорема 16. Следующие функции имеют первообразные, выражаемые через элементарные функции:

a) Квазимногочлены;

b) Рациональные функции;

c) Тригонометрические многочлены;

d) Рациональные функции от синуса и косинуса;
e) Рациональные функции от	и √ 2( ), где				2 — многочлен второй степени.
Эта теорема будет доказана на следующей лекции.
Равносильное уравнение		( u u ( ))′ = u u ( ),
2.8. Алгебраические методы интегрирования: алгоритмы
Метод неопределенных коэффициентов			′	=			дано, — искомое.
представляет собой треугольную	систему.		′
представляет собой треугольную	+
Разложение рациональной дроби на простейшие						Если все корни		многочлена —
( )		u			где	( u )	u
простые, то выполнена формула Сохоцкого:						u = ′( u ).	u
( ) = ( ) + ∑ − u ,						u = ′( u ).

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.2015666.24 Кб3Lecture 3 SOCIAL STRUCTURE.pdf
#
02.06.20157.9 Mб6Lecture Part I.pdf
#
02.06.20151.92 Mб3Lecture Part II.pdf
#
02.06.20151.11 Mб6Lectures 3-4 (B-3 BF) 2013.pdf
#
02.06.2015209.4 Кб3Lectures.pdf
#
02.06.2015131.83 Кб27lectures.pdf
#
02.06.2015323.71 Кб6Lectures_1-2_monopoly.pdf
#
03.11.2018155.14 Кб2Lectures_1.doc
#
10.11.2019349.18 Кб2Lectures_2.doc
#
02.06.2015413.7 Кб4Lectures_4_Men-2014.doc
#
02.06.2015360.17 Кб5Lectures_all.pdf

1.1. Первообразная

1.2. Задача о площадях: интеграл Римана

Интеграл Римана

1.3. Свойства интегральных сумм

1.5. Добавления

2.1. Интеграл с переменным верхним пределом

2.2. Формула замены переменной

2.4. Свойства интеграла Римана: линейность и аддитивность

2.5. Табличные интегралы

2.6. Графическое интегрирование

2.7. Алгебраические методы интегрирования

2.8. Алгебраические методы интегрирования: алгоритмы