3 Алгебраические методы интегрирования

Правая часть предыдущего разложения интегрируется. Вещественный ответ легко пишет-

формулы

(

,

)

∑

когда все — вещественные, и требует дополнительных усилий в комплексном случае.

d) Если

— рациональная

(sin,cos)

(

uu

,

−uu

)

сяc),

Пусть

иu

- многочлены. Функция

представляется в

виде

и

представляется в виде

uс помощью

легко интегрируется. Функция

uu

−uu

−u

u

uu u

Эйлера.

функция, то интеграл

сводится к интегралу от

= ∫

(

uu

)

= uu

uu

рациональной функции подстановкой

:

e)

∫

(

,

−uu

) = ∫

1

(

uu ,u −u u

)

uu

= ∫

( , 1u )

для∫ ( ,

√ ( ))

uu

если () = ( − ),то

→ :

2 = 2( )

``униформизации2

превращается в интеграл от рациональной функции с помощью

квадрики'':

кривой

существует рациональное взаимнооднозначное отображение

=

− 2

, =

− 2 .

a

Квазимногочлены;

b

Тригонометрические многочлены;

c

Рациональные функции;

d Рациональные функции от синуса и косинуса;

e Рациональные функции от и √

2

()

, где 2 — многочлен второй степени.

плексными) корнями, а степень числителя меньше, чем степень знаменателя, разлага-

( )

u

где

( u )

ется в сумму простейших дробей:

= ∑ − u ,

u = ′( u ),

— корни многочлена .( ) = ( )

u Отсюда следует утвеждение

с) предыдущей теоремы для рациональных функций общего

Теорема 20. Интеграл от рациональной функции от синуса и косинуса сводится к ин-

тегралу от рациональной функции с помощью замены:

uu

=

.

3.5. Рациональные функции от

и

и

сводится к инте-

Теорема 21. Интеграл от

рациональной функции от

√ 2( )

2 .

= √ 2

( )

( ) =

2 ,

( ) =

гралу от рациональной функции с помощью замены:

щение объясняется

√ ; ( )( ( ) − ) = ( )

. Это загадочное упро-

Доказательство использует тот факт,−что

−

рациональностью квадрики это сделано ниже.

3.6. Рациональность квадрики

( , ) = 0

Квадрикой (а также коникой) называется любая кривая второго порядка на плоскости, т.е.

кривая вида

, где

— многочлен второй степени.

Определение2

8.

u ( , ) = ( 1( ), 2

( ))

если оно задается ра-

Отображение2

→ 2

называется рациональным,

циональными функциями

.