6–7 Индекс векторного поля. Основная теорема алгебры

области приложенный к ней вектор (направленный отрезок). Векторные поля на плоскости

Определение( ) = 1; ;

̄;

можно задавать комплекснозначными функциями.

2

.

2

Пример 1.

[0,1] → , (0) = (1)

20.

Замкнутая кривая на плоскости — это непрерывное отображение

Всюду ниже векторные поля задаются непрерывными отображениями

.

Определение 21. Индекс векторного поля вдоль замкнутой кривой — → , ( )

это число полных

оборотов вектора поля,

совершаемых при обходе кривой; обозначение: .

( ( )) ≠ 0

arg

[0,1]

u

, такой,

что

Более подробно,

для любого непрерывного поля

и кривой

Тогда

( ) =

( ( )).

на

[0,1] →

, можно определить непрерывную функцию( )

(1) − (0)

2

Замечание 3. Индекс зависит толькоu =от ориентации.

кривой, а не от ее параметриза-

Пример 2. Пусть

( ) = 2u uu , ( ) = u ,

. Тогда

u = .

ции.

Теорема 34. Пусть на замкнутой кривой

векторные поля

| |

и

| |

удовлетворяют

соотношению: | | > | |. Тогда

Доказательство.

определен при всех , поскольку

на . Он

Индекс

u = u

( + ).

u ≠ 0

постоянен.

непрерывно зависит от и,uзначитu , u =,

+

6–7.5. Основная теорема алгебры

Теорема 35. Многочлен степени

имеет на комплексной плоскости

корней с учетом

кратности.

Доказательство. Пусть

u ( ) = u

+ u −1( ).

Заметим,

что

u −1( )

при

Следовательно, на положительно

ориентированной окружности

при достаточно

u

→ 0

→ ∞.

| | =

большом

,

| u | > | u −1

( )|.

Тогда

u

с учетом кратности.

равна числу корней внутри

Но, по основной теореме, левая частьu u ( ) = u

= .

u