Глава 1.
Структура футбольных лиг
Материалы по теме: [Vrooman (2007)].
Пусть есть некоторый пул футболистов, которые характеризуются своим талантом. Рассмотрим экономику, состоящую из двух фирм, то есть двух команд. Каждая команда выбирает уровень качества футболистов, которых она хочет приобрести на трансферном рынке. Набранный талант -й команды будем обозначать через . Функция прибыли
-îé команды зависит от доли таланта в команде по отношению ко всему пулу и от размера рынка, в качестве которого может браться потенциальная аудитория (например, это может быть напрямую связано с размером города, в котором играет команда):
|
|
|
( |
|
=1 |
|
|
) |
|
|
= |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где размер рынка для фирмы . В этой лекции будем предполагать, что прибыль фирмы выражается в виде:
= ∑ .=1
Цена единицы таланта равна , она постоянна.
1.1. Случай 1. Открытая лига.
Цена футболистов в случае открытой лиги фиксирована, несколько сделок не могут повлиять на стоимость футболистов.
|
( |
, ) = |
1 1 |
− |
|
1 −→ |
max, |
|
1 + 2 |
||||||||
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ФУТБОЛЬНЫХ ЛИГ |
2 |
||||||||
|
( |
, ) = |
2 1 |
− |
|
2 −→ |
max . |
||
1 + 2 |
|||||||||
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
||||
Необходимые условия первого порядка имеют вид:
− 1 1 + 1( 1 + 2) − = 0,
( 1 + 2)2
− 2 2 + 2( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
Отсюда легко видеть, что 1 2 = 2 2 èëè 12 = 12 . После очевидных преобразований получим:
|
|
1 22 |
|
2 |
= |
|
|
|
+ 2)2 |
||
|
( 1 |
||
|
|
12 2 |
|
1 |
= |
|
|
|
+ 2)2 |
||
|
( 1 |
||
Чем выше объ¼м своего рынка, тем больше таланта футбольному клубу следует нанять.
Есть два основных параметра лиг, которые могут характеризовать зрелищность.
1)= 1 + 2 общий объ¼м таланта,
2)= 12 competitive balance.
1.2. Случай 2. Закрытая лига.
Фиксирован пул талантов, но цена на единицу таланта теперь является не фиксированной, а определяется из условий балансировки рынка.
1 −→ max
1>0
2 −→ max
2>0
. . 1 + 2 =
Необходимые условия первого порядка имеют вид:
− 1 1 + 1( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
− 2 2 + 2( 1 + 2) − = 0 ( 1 + 2)2
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ФУТБОЛЬНЫХ ЛИГ |
3 |
||
здесь выбирается на рынке. |
|
|
|
Значит, |
|
|
|
1 + 2 = |
1 22 + 2 12 |
= |
|
( 1 + 2)2 |
|
||
|
|
|
|
1 2= ( 1 + 2)
↑ ↓, 1 ↑ ↑, 1 ↑ ↑.
Найд¼м оптимальный объ¼м таланта в закрытой лиге:
|
|
1 |
|
|
1 |
= |
|
, |
|
1 + 2 |
||||
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
2 |
= |
|
. |
|
1 + 2 |
||||
|
|
|
Какой будет оптимальный уровень перераспределения в лиге? Возьм¼м некоторую долю прибыли каждой из команд и забер¼м в фонд лиги, а затем из фонд лиги разделим поровну между командами. Тогда новую прибыль первого клуба можно записать как:
^ |
|
1 1 |
+ (1 − ) |
2 2 |
|
1 |
( 1, 2) = |
|
|
, |
|
1 + 2 |
1 + 2 |
||||
где [0, 1] доля средств, которые клуб оставляет |
ó ñåáÿ. Äîëÿ 1 − |
||||
перечисляется Лиге (в данной модели с двумя командами удобнее счи- тать, что она перечисляется сразу другой команде).
Условие первого порядка имеет вид:
1 2 |
− |
(1 − ) 2 2 |
= |
( 1 + 2)2 |
( 1 + 2)2 |
|
èëè
2( 1 − (1 − ) 2) = ( 1 + 2)2,1( 2 − (1 − ) 1) = ( 1 + 2)2,
1 = 2 1 − (1 − ) 2 .2 − (1 − ) 1
Примем обозначение { = |
1 |
−(1− ) 2 |
. Тогда имеем: |
|||||
2 |
||||||||
|
|
−(1− ) 1 |
|
|
||||
|
1 |
|
(1 − ) 2 |
|
= 0, |
|||
|
(1 + {)2 2 − (1 + {)2 2 |
− |
||||||
|
|
|||||||
ГЛАВА 1. СТРУКТУРА ФУТБОЛЬНЫХ ЛИГ |
4 |
|||||||||
|
|
|
2 = |
1 − (1 − ) 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + {)2 |
|
|
|
||
|
|
1 + { = |
( 1 + 2)(2 − 1) |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 − (1 − ) 1 |
|
|
|
||
|
2 = |
( 2 − (1 − ) 1)2( 1 − (1 − ) 2) |
, |
|
|
|||||
|
( 1 + 2)2(2 − 1)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 = |
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2)2 |
, |
|
|
|||||
|
( 1 + 2)2(2 − 1)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 + 2 = |
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2)(2 − 1)( 1 + 2) |
, |
||||||||
|
|
|
|
( 1 + 2)2(2 − 1)2 |
|
|
|
|||
1 + 2 |
= |
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2) |
. |
|||||||
|
|
|
|
( 1 + 2)(2 − 1) |
|
|
|
|||
Задача максимизации таланта в таком случае принимает вид:
|
|
+ |
= |
( 2 − (1 − ) 1)( 1 − (1 − ) 2) |
−→ |
max |
[0, 1]. |
|
( 1 + 2)(2 − 1) |
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
Если построить график, то будет видно, что уходит в функция уходит в бесконечность тогда и только тогда, когда → 12 − 0.
Альтернативная постановка задачи. Если же болельщики любят сбалансированные матчи, то в качестве дохода можно иногда рассматри-
âàòü: |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
~ |
|
+ (1 − ) |
|
||||
1 |
( 1, 2) = 1( |
|
|
|
|
) |
|
1 + 2 |
1 + 2 |
1 + 2 |
|||||
где чем меньше , тем больше болельщики любят сбалансированные мат-
֏.
Можно также ограничивать расходы. Пусть можно тратить на трансферы не очень много не более доли от своих доходов. Тогда задачу
можно записать в виде:
{
( 1, 2) − 1 −→ max 1. . 1 6 ( 1, 2)