Глава 2.
Ранговые турниры и оптимальная структура контракта
Почему футболисты высокого класса стоят несоразмеримо дороже? Например, потому что можно выпустить лишь 11 игроков. Суперзв¼зды получают больше в том числе потому, что нельзя на их место поставить 10 игроков с квалификацией в десять раз меньше. Об эконо-
мике суперзв¼зд: [Rosen (1981)].
Еще одна возможная причина непропорциональное распределение призов: за первое место в турнире приз может большим, за второе не очень, а за третье почти ничего. Асимметрия в призах может вызывать непропорциональный рост стоимости хороших футболистов.
Рассмотрим модель рангового турнира (rank-order tournament). Пусть есть 1 команда и 2 футболиста. Они два конкурента за пози-
цию на поле. Бюджет клуба фиксирован. Клуб заинтересован в высокой оплате услуг того футболиста, кто играет в старте: клуб так может влиять на стимулы тренироваться.
Опишем схему оплаты. Пусть тот, кто выходит в старте получает , а тот, кто сидит на скамейке .
Допустим, что
> .
В рассматриваемой модели игроки выбирают уровень усилий на тренировках. Обозначим стратегии игроков через 1 è 2 соответственно. Ес-
ли -ый футболист выбирает уровень усилий , то его издержки равны( ). Наложим условия: ′(·) > 0, ′′(·) > 0.
5
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ И ОПТИМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КОНТРАКТА 6
Реальная форма, в которой футболист подойдет к матчу, это слу- чайная величина . Будем предполагать, что
= + ,
где [0, 1] независимые одинаково распределенные случайные величины, = 1, 2.
Вопросы, на которые поможет ответить эта модель таковы. Каков оптимальный контракт (с точки зрения клуба)? Кто из футболистов будет прилагать больше усилий?
Пусть = + . Ожидаемые платежи:
1( 1, 2) = + (1 − ) − 1( 1)
вероятность того, что первый футболист попад¼т в стартовый состав.
= P( 1 > 2) = P( 1 + 1 > 2 + 2) = P( 2 − 1 > 1 − 2)
Òàê êàê 1, 2
2.1.Лирическое отступление: сумма равномерных распределений
Рассмотрим сумму равномерно распределенных случайных величин. Обозначим соответствующую функцию рапсределения через .
( ) = P( 1 − 2 |
6 ) = |
{1 |
2 |
(1− )2 |
,, if |
0− 1 << <10 |
|
|
|
|
(1+ )2 |
if |
|
||
|
|
|
|
− |
|
6 − |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
= 1 − P( 1 − 2 6 2 − 1) = 1 − ( 2 − 1)
Пусть 1( 1) = 1, 2( 2) = 2 2. Каждый футболист будет получать:
1( 1, 2) = (1 − ( 2 − 1)) + ( 2 − 1) − 21,
2( 1, 2) = ( 2 − 1) + (1 − ( 2 − 1)) − 2 22.
Необходимые условия первого порядка имеют вид:
{
′( 2 − 1) − ′( 2 − 1) − 2 1 = 0
′( 2 − 1) − ′( 2 − 1) − 4 2 = 0
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ И ОПТИМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КОНТРАКТА 7
{
1 = 2 2
′( 2 − 1)( − ) − 4 2 = 0
{
1 = 2 2
′(− 2)( − ) − 4 2 = 0
|
1 + , |
|
[ 1, 0] |
−1) |
|
|
0, |
(−∞, |
|||
′( ) = |
|
|
− |
|
|
|
1 , |
|
[0, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
0, |
(1, +∞) |
|||
Функция симметричная, рассматриваем только два случая. Случай 1. (−∞, −1), −4 2 = 0.
Случай 2. [−1, 0]. В этом случае имеем:
|
(1 − 2)( − ) − 4 2 = 0 |
||||||||||
|
|
|
2 = |
− |
|
|
|||||
|
|
|
− + 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 = |
2( − ) |
|
||||||
|
|
|
− + 4 |
||||||||
|
{ . . |
||||||||||
|
+ |
= |
|
|
|||||||
|
|
|
1 + 2 |
−→ max 1 |
, 2 |
||||||
|
3 |
− |
|
−→ |
max |
||||||
|
− + 4 |
||||||||||
|
|
|
1, 2 |
||||||||
|
3 |
|
2 − |
|
|
|
max |
||||
|
|
2 − + 4 −→ [0,1] |
|||||||||
2 − + 4 |
|
( |
− 2 − + 4) |
||||||||
3 |
2 − |
|
= 3 1 |
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Это гипербола, максимизация достигается при максимально возможном
, è = .
При фиксированном бюджете нужно весь доступный бюджет платить тому, кто играет. Но обычно футболисты имеют какой-нибудь альтерна-
тивный вариант вне клуба, тогда появляется ограничение > , и
будем платить = .
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ И ОПТИМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КОНТРАКТА 8
2.2. Задача
Пусть в лиге существуют два клуба с бюджетами 1, 2, а вероят-
ность победы команды 1 равна 1 = 1 .
1+ 2
Пусть есть призовой фонд прибыль от привлеч¼нных болельщиков.
1( 1, 2) = ( 1 + 2) − | 1 − 2|.
Есть два сезона, по ходу каждого из которых играет один матч. Прибыль первого сезона 1. Прибыль второго сезона 2, уже скорректиро- ванными на полученную прибыль первого сезона, полученную фирмами.
Как должна распределять прибыль в первом сезоне фирма, чтобы максимизировать 2?
Пусть 1 è 2 прибыль, которая отда¼тся первой или второй фирме из прибыли первого сезона. 1 + 2 = 1.
Решение:
Пусть 1 = 1, 2 = (1 − ) 2, [12 , 1].
Если выигрывает первая команда, то новые бюджеты:
{
1′ = 1 + 1
2′ = 2 + (1 − )
Вероятность наступления случая:
11( 1, 2) = 1 + 2 .
Прибыль второго периода для этого случая:
2 = ( 1 + 2 + 1) − | 1 − 2 + (2 − 1) 1|.
Если выигрывает вторая команда, то новые бюджеты:
{
1′ = 1 + (1 − ) 1
2′ = 2 +
Вероятность наступления случая:
21( 1, 2) = 1 + 2 .
Прибыль второго периода для этого случая:
2 = ( 1 + 2 + 1) − | 1 − 2 + (1 − 2 ) 1|.
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ И ОПТИМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА КОНТРАКТА 9
Ожидаемая прибыль тогда равна:
E 2 = |
|
1 |
|
|
( ( 1 |
+ 2 + 1) − | 1 − 2 + (2 |
− 1) 1|)+ |
|
||||||||||||||||||||||||||
1 + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
|
2 |
|
|
( |
|
( |
|
1 + |
|
|
+ |
|
1) − |
| |
|
1 − |
|
2 + (1 |
− 2 |
) |
|
1|) |
−→ [ |
|
||||||||
|
1 + 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
21 ,1] |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
||||
− |
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|)− 1 |
|
|
|
1− |
2+(1−2 |
1|) −→ |
||||||||||||||||||
1 + 2 |
| |
|
|
|
2+(2 −1) |
|
1 |
+ 2 |
| |
|
|
|
) |
[ 21 ,1] |
||||||||||||||||||||
Не ограничивая общность, предположим, что 1 > 2. Тогда первый модуль раскроется.
− |
1 + 2 |
{ |
|
2 1 |
2 |
, 1 |
+ (1 |
|
2 ) 1 |
6 2 |
−→ [ 21 ,1] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ (1 − 2 ) 1 |
> 2 |
|
||||||
2 1 |
1 |
|
+ |
|
2 1 |
1+ 2 |
, |
|
|
1 |
max |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
1+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 1, |
|
|
1 + (1 |
|
2 ) 1 |
6 2 |
−→ |
[ 21 ,1] |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
− 2 ) 1 |
> 2 |
|
|
|
||||||
|
2 1 1 |
+ 2 , |
1 + (1 |
|
max |
|
|||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получается, что это убывающая функция. И тогда в первом случае
= |
1 |
= min{ |
2+ 1 |
+ 1 |
, 1}. |
2 , а во втором |
2 1 |
|
Литература
[Rosen (1981)] Rosen S. The economics of superstars //The American economic review. 1981. Ñ. 845-858.
[Vrooman (2007)] Vrooman J. Theory of the beautiful game: The uni cation of European football //Scottish Journal of Political Economy. 2007. Ò. 54. . 3. Ñ. 314-354.
10