2Элементарные функции комплексного переменного
Лекция 5. Комплексные логарифм и экспонента
5.1. Определение и свойства вещественного логарифма и экспоненты, по Колмогорову
5.2. В гостях у Эйлера |
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение 15. |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Формула |
|
|
u |
= limu →∞ |
(1 + u ) |
u |
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема 26. Ряд |
сходится |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= ∑ u ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема 27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Эйлера |
|
как предельный случай формулы Муавра. |
|
|||||||||||||||||
Теорема 28. |
|
u +uu |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
5.3. Комплексный=логарифм(cos + sin ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Это вообще не |
|
|
|
ln = ln| | + arg |
|
|
|
|
|||||||||||||
Определение 16. |
|
|
Логарифм — функция, обратная экспоненте (нужны уточнения). |
||||||||||||||||||
Определение 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
функция, |
потому что |
определен неоднозначно! |
|
||||||||||||||
5.4. Производные функций комплексногоln |
переменного |
|
|||||||||||||||||||
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
→ |
( + ) − ( ) |
|
|
||||
Определение 18. |
|
Функция |
|
|
lim |
комплексно дифференцируема, если существует |
|||||||||||||||
Примеры. Функции |
|
|
|
( ) = |
|
|
, , . |
|
|||||||||||||
|
и имеют |
|
→0 |
|
|
|
комплекс- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
имеют! |
|
|
|
комплексную производную. Функции |
||||||||||
ной производной не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̄, , ,| | |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема 29. Для комплексного дифференцирования справедливы те же формулы для производных от суммы, произведения, частного, как и в вещественном случае. Доказательства точно такие же.
Следствие 3. Все многочлены и квазимногочлены дифференцируемы. Рациональные функции дифференцируемы во всех точках, кроме полюсов.
Замечание 2. Ограничение комплексной производной на вещественную ось совпадает с вещественной производной.
13
2 Элементарные функции комплексного переменного
5.5. Производные многочлена, логарифма, экспоненты
Теорема 30. Справедливы следующие( ) = формулы, для, комплексных; производных:
u ′ u −1
(ln )′ = 1, ( u )′ = u , ( u u )′ = u u
5.6. Интегрирование рациональных функций
Теорема 31. Пусть |
|
u ( ) |
u |
|
u |
где |
|
|
|
||
Тогда |
( ) = 0 |
( ) + ∑ |
( − u )u |
|
+ ∑ − u , |
|
u > 1, deg u < u . |
||||
|
u |
∫ ( ) = 0( ) + ∑ |
( )u u−1 |
+ ∑ u ln( − u ). |
|||||||
Многочлены |
|
|
|
|
|
разложения многочлена |
u |
по степеням |
|||
|
|
находятся явно с помощью( − u ) |
|
|
|
|
|||||
5.7. Логарифм и арктангенс — близнецы-братья
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
||
Применим предыдущую теорему к ( ) = u 21+1 |
. Получим |
|||||||||||
Однако известно, что |
|
∫ |
2 |
+ 1 = 2 ln + |
+ |
|||||||
|
|
|
∫ |
|
|
= arctg + |
′ |
. |
||||
Следствие 4. При |
|
, |
2 |
+ 1 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
− |
= arctg + . |
|||||||
Чему равно |
|
|
2 ln |
+ |
||||||||
Теорема 32. ? |
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −u2 |
: |
|
|
|
|||
В предыдущей формуле |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 ln |
+ |
= arctg − 2. |
|||||||
− u .
(2.1)
(2.2)
Эти свойства позволяют применять алгебраические методы интегрирования независимо от того, являются ли корни вспомогательных многочленов вещественными или комплексными.
14