Вопрос 8 Формула Пуассона

Часто интерес представляет случай большого числа n и малой вероятности p успеха в одном отдельном испытании. В этом случае удобно воспользоваться приближением Пуассона.

Теорема

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, близка к нулю, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность P_n(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна:

P_n(k) = (l^ke^-l )/k!

где l = np.

Эта формула называется формулой Пуассона. Обычно приближенную формулу Пуассона применяют, когда р <0,1, а npq < 10.

Функция (l^k e^-l )/ k! затабулирована, т.е. имеет таблицу.

Значения функции (l^k e^-l )/ k!

k	1
	1	2	5	8
1	0,36	0,27	0,0337	0,0027
2	0,18	0,27	0,084	0,0107
3	0,06	0,18	0,14	0,028
5	0,0031	0,036	0,175	0,0916

Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким событиям.

Вопрос 9 Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины.

Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать какое именно значение она примет. (Более точно, СВ - это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий W).

Строго понятие "случайная величина" определяется так:

Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию gi из U сопоставим число ξi. Потребуем, чтобы для любого х (-∞ < x < +∞) множество А тех g, для которых ξ < x , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ξ < x} = P(A) = F(x). Тогда ξ называется случайной величиной, а F(x) - ее функцией распределения.

Проще можно сказать, что случайная величина - это величина, значение которой зависит от случая, если для всех х известна функция распределения F(x), т.е. вероятность того, что это значение меньше х.

В строгом определении задание пространства элементарных событий означает по существу задание условий, в которых возникают те или иные значения случайной величины, а если эти условия заданы, то тем самым определена и F(x). Например, нельзя сказать, что "температура - случайная величина". Но "температура воздуха, измеряемая на данной метеостанции в случайный момент времени в течение года" - случайная величина, "температура воздуха в случайно выбранной точке земного шара 1 января 2001г. в 12.00 по Московскому времени" - другая случайная величина.

Свойства функции распределения:

1) F(-∞) = 0

2) F(+∞) = 1

3) F(x) - не убывающая функция х

Случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некотором интервале (например, упомянутые выше температуры). У них F(x) - непрерывная функция.

Дискретная случайная величина.

Случайные величины могут быть дискретными т.е. принимать только конечное или счетное множество определенных значений (например, число очков при бросании игральной кости; число телефонных звонков, поступающих конкретному абоненту в течение суток). У таких величин F(x) имеет разрывы в точках, соответствующих принимаемым значениям. Такие величины удобнее характеризовать указанием возможных значений и их вероятностей.

Пример 1: число очков при бросании кости

Значения х_i: 1 2 3 4 5 6

Вероятности р(х_i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Функция распределения:

Рисунок 5.1 Функция распределения числа очков при бросании кости

Обратите внимание: Хотя случайная величина принимает только дискретные значения ее функция распределения определена для любых х.

Например: F(-1) = 0, F(0) = 0, F(0.999) = 0, F(1.001) = 1/6, F(3.5) = 3/6, F(7) = 1.

Для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения р(х), которая есть производная от функци распределения.

Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, лежащее в интервале (а,b) равна разности значений функции распределения на концах интервала

P{ a≤ ξ <b } = F(b) - F(a)

Для непрерывных случайных величин

Важно помнить, что всегда для дискретных распределений сумма р(хi) по всем возможным значениям х_i равна 1;

для непрерывных распределений

Закон распределения дискретной случайной величины.

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения х1, х2,..., xn,... с некоторой вероятностью pi, где i = 1, 2,..., n,... Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение хi: рi=Р(Х=хi).

Значения xi и соответствующие Pi представляют в виде таблицы:

x_i x₁ x₂ x₃ ... x_n ...

p_i p₁ p₂ p₃ ... p_n ...

Эта таблица является одной из форм задания ДСВ.

Обычно случайные величины располагаются в возрастающем порядке.

Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна 1:

Дискретная случайная величина может также представляться в виде многоугольника распределения - фигуры, состоящей из точек (х_i, р_i), соединенных отрезками (рис. 6).

Рис. 6. Многоугольник распределения

Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и умножения.

1) Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

1) Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

Функция распределения дискретной случайной величины.

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x₁ x₂ … xi …

p₁ p₂ … pi …

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид.

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6