1)Два испытания, b: “только в одном успех”

B= A₁Ā₂ + Ā ₁A₂

P(B)= P(A₁Ā₂ + Ā₁A₂) =

= {так как A₁ Ā₂ и Ā₁ A₂ несовместны, то по теореме сложения}=

=P(A₁ Ā₂) + P(Ā₁A₂) =

={так как A₁ и A₂ независимы, то независимы A₁ и Ā₂, Ā₁ и A₂} = {тогда по теореме умножения имеем}=

=P(A₁)P(Ā₂)+P(Ā₁)P(A₂)=p(1 - p)+(1 - p)p=pq+pq=2pq;

Рис. 4.Два испытания, B:” только в одном успех ” (закрашенная область соответствует событию B)

2) Три испытания, B: “только в двух успех”

B=A₁Ā₂A₃ + Ā₁A₂ A₃ + A₁A₂ Ā₃;

P(B)=p(1 - p)p+(1 - p)pp+pp(1 - p)=3p²(1 - p)= 3p²q;

Рис. 5.Три испытания, B:” только в двух успех”( закрашенная область соответствует событию B)

3)Четыре испытания, B: “только в двух успех”

B=A₁A₂Ā₃ Ā₄+A₁Ā₂A₃ Ā₄+A₁Ā₂Ā₃ A₄+

+Ā₁A₂A₃ Ā₄+Ā₁A₂Ā₃ A₄+Ā₁Ā₂A₃ A₄;

P(B)=pp(1 - p)(1 - p)+p(1 - p)p(1 - p)+p(1 - p)(1 - p)p+

+(1 - p)pp(1 - p)+(1 - p)p(1 - p)p+(1 - p)(1 - p)pp;

P(B)=6p²(1 - p)² =6p²q²;

4) Пять испытаний, B: “только в двух успех”

B=A₁A₂Ā₃ Ā₄Ā₅+A₁Ā₂ A₃Ā₄Ā₅+A₁ Ā₂Ā₃A₄Ā₅+

+A₁Ā₂Ā₃ Ā₄A₅ + Ā₁A₂ A₃Ā₄ Ā₅+ Ā₁A₂Ā₃A₄ Ā₅+

+Ā₁A₂Ā₃ Ā₄A₅ + Ā₁Ā₂A₃A₄ Ā₅+ Ā₁Ā₂A₃Ā₄ A₅+

+Ā₁Ā₂ Ā₃A₄A₅;

P(B)=10p²(1 - p)³= 10p²q³;

5) n испытаний. B: “только в k успех”

B=A₁A₂A₃ A₄…A_k-1A_kĀ_k+1 Ā_k+2…Ā_n-2Ā_n-1 Ā_n+…

+Ā₁Ā₂ Ā₃…Ā_n… A_n-1A_n;

P(B)=p^k(1 - p)^n-k+... +p^k(1 - p)^n-k.

Итак

P(B) = K p^k(1 - p)^{n - k} = K p^k(q)^{n - k} ,

где K-·-это количество слагаемых. Как это количество найти? Количество слагаемых равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать k, в которых произошло событие A. Из комбинаторики мы знаем, что число таких комбинаций равно

Теорема

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровноk раз в n испытаниях, выражается формулой

P_n(k) = C_n^kp^k (1 - p)^{n - k}

или

Эта формула называется формулой Бернулли.

Формула описывает, как распределяются вероятности между возможным числом появления событияA в n испытаниях.

2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа дает ассимптотическое приближение при большом количестве испытаний и достаточно больших вероятностях события А.

Теорема

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

P(x)=, где

x=

Значение функции находят по таблицам.

Функция j (x) четная, поэтому для отрицательных и положительных значений аргумента пользуются одними таблицами, т.е.

j (-x)=j (x).

3. Интегральная теорема Лапласа

Если нас интересует вопрос, с какой вероятностью будет обнаружено отклонение АД у группы студентов от 70 до 100 человек, то следует применять интегральную теорему Лапласа.

Теорема

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k₁,k₂) того, что событие А появится в n испытаниях от k ₁ до, k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу.

где xў=(k₁ - np), x ”=(k₂ - np)

Ф(х) – функция Лапласа:

Для решения задач с применением интегральной теоремы Лапласа пользуются таблицами. В таблицах определяют некоторую функцию Ф(x). Следует помнить, что данная функция нечетна, а это значит, что Ф( - x)= -Ф(x).