Вопрос 15 Числовые характеристики случайной величины: центральные и начальные моменты, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана, асимметрия и эксцесс, квантиль, процентная точка.

Начальный момент к-го порядка случайной величины Х есть математическое ожидание к-ой степени этой случайной величины:

При К=0

К=1 - математическое ожидание;

К=2

Центрированной случайной величиной называется случайная величина, математическое ожидание которой находится в начале координат(в центре числовой оси), т.е М[]=0

Операция центрирования(переход от нецентрированной величины Х к центрированной )

=Х – m_x

Центральный момент порядка k случайной величины X есть математическое ожидние k-й степени центрированой случайной величины :

При К=0

К=1 - математическое ожидание;

К=2 -дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х характеризует ширину диапазона значений Х и равно:

СКО измеряются в тех же физических единицах, что и случайная величины.

Правило 3.

[]

Математическое ожидание и дисперсия (или СКО)- наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности значений. Для более подробного описания используются начальные и центральные моменты высших порядков. Кроме математического ожидания на практике часто применяются и другие характеристики положения распределения значений.

Мода случайной величины равна ее наиболее вероятному значению, т.е. то значение, для которого вероятность p_i (для дискретной случайной величины) или F(x) (для непрерывных случайных величины) достигает максимума:

F(x=max), p(X=M₀)= max

Распределение с одним максимумом плотности распределения называется «универсальным». Если многоугольник распределения или кривая распределения имеют более одного максимума, распределение называют «полимодальным». Если распределение обладает не максимумом, а минимумом, то оно называется «антимодальным».

Медиана случайной величины Х равна такому ее значению, для которого выполняется условие p{X<Me}=p{XMe}. Медиана , как правило, существует только для непрерывных случайных величин. Значение Me может быть определено как решение одного из следующих

Уравнений:

F(Me)= 0,5

В точке Me площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Квантиль _p случайной величины Х- это такое ее значение, для которого выполняется условие

P{X<_p }=F(_p )=p

Очевидно, что медиана – это квантиль _0,5.