1.4. Сочетания

Сочетаниями из п элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каж­дое содержит т элементов, взятых из числа дан­ных п элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из пэлементов поmв каждом обозначается символомC_n^mи вычисляется так:

или

Пример 3.Правление коммерческого банка вы­бирает из 10 кандидатов 3 человек наодинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шан­сы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение.Состав различных групп должен отли­чаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, сле­довательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачип= 10,т =3. Подставив данные в формулу (1.5), получаем

Ответ.Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.

Замечание.Надо уметь различать сочетания от раз­мещений. Например: если в группе 25 студентов и 10 человек из них, выйдя из аудитории на перерыв, стоят вместе и беседуют, топорядок,в котором они стоят,несуществен.Число всех возможных групп из 25 человек по 10 в данном случае —сочетания. Если же студенты отправились на перерыве в буфет или в кассу за стипендией, то тогдасущественно, в каком, порядке они стали,т. е. кто из них первый, второй и т. д. В этой ситуации при подсчете возможных групп из 25 человек по 10 необходимо состав­лятьразмещения.

1.5. Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями из n элементов по m (n  m) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не толь­ко из m различных элементов, но из m каких угод­но и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, два со­единения по mэлементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число сочетаний с повторениями из nэлементов поmбудем обозначать символом (C_n^m)_{c повт}и вычислять по формуле

Замечание, тможет быть и большеn.

Пример 4.Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение.

Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

1.6. Перестановки

Перестановками из п элементов называются та­кие соединения, из которых каждое содержит все п элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число перестановок из пэлементов обозначается символом P_n, это то же самое, что число размещений изпэлементов поnв каждом, поэтому

Пример 5.Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько суще­ствует способов его осуществления?

Решение.Способы просмотра изданий различа­ются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Сле­довательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.

По условию задачи п= 6. Следовательно,

Р_n = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.

Ответ.Можно просмотреть издания 720 способами.