Вопрос 6 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. Формула полной вероятности

Пусть дана группа несовместных событий В1,В2…Вn и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ1, АВ2… АВn. И пусть даны вероятности P(В1), P(В2),…,P(Вn) и условные вероятности P(A|В1), P(A|В2),…,P(A|Bn). Требуется определить вероятность P(A).

Рис. 2. Пояснение к формуле полной вероятности

Так как

A = АВ1 +АВ2 +…+ АВn,

То

P(A)= P(АВ1 + АВ2 +… +АВn ).

События В1, В2,…,Вn несовместные, следовательно, события АВ1,АВ2,…,АВn тоже несовместные. Воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий.

P(A) = P(АВ1 + АВ2 +… +АВn) = P(АВ1)+ P(АВ2)+… +P(АВn )

По теореме умножения для каждого слагаемого имеем

P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi).

Следовательно

P(A) = P(B1)P(A|B1) +P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn).

Или

P(A) = P(B_i)P(A|B_i)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

В рассмотренной схеме событие А осуществляется только вместе с каким-либо из событий В1, В2, …, Вn. Последние, таким образом, выступают как единственно возможные и взаимно исключающие условия, определяющие появление события А, или как гипотезы, в предположении которых (и только их) может произойти событие А.

2) Формула Байеса

Пусть дана группа несовместных событий В1, В2 ,…Вn и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ1, АВ2,… АВn. И пусть даны вероятности P(В1), P(В2 ),…,P(Вn) и условные вероятности P(A|B1), P(A|В2 ),…,P(A|Вn). Требуется определить условные вероятности P(В1|A), P(В2|A),…,P(Вn|A).

Рис 3. Пояснение к формулеБайеса

По теореме умножения

P(AB) = P(B)P(A|B) или P(AB) = P(A)P(B|A).

Следовательно,

P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).

Воспользуемся последним равенством и выразим P(B|A) в общем случае

P(B_i|A)=

P(A) находим по формуле полной вероятности

P(A) = P(Bi ) P(A | Bi ).

Итак,

. P(B_i|A)=

Эта формула называется формулой Байеса.

Вероятность Р(Вi) осуществления события Вi (i = 1,…,n), вычисления безотносительно к событию А, называется априорной вероятностью (a priori). Условная вероятность Р(Вi|А) выполнения события Вi (i = 1,…,n), вычисленная в предположении, что событие А осуществилось, называется апостериорной вероятностью (a posteriori).

События Вi называют гипотезами, а теорему Байеса теоремой гипотез.

Формулы полной вероятности и Байеса связаны между собой и дают прямое и обратное решения одной и той же проблемы. Первая прогнозирует возможность появления события А по известным до опыта вероятностям осуществления гипотез. Последняя оценивает вероятность осуществления каждой гипотезы, если событие А произошло.

Вопрос 7 Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

1. Испытания и формула Бернулли

Итак, пусть проводится n независимых испытаний. Обозначим Ai появление события A в i-ом испытании, а вероятность этого события обозначим pi (P(Ai) = pi). Непоявление события в i-ом испытании обозначим соответственно Ā i, а вероятность непоявления P( Ā i)=1 pi=qi. Поскольку мы будем рассматривать схему, в которой вероятности исходов не меняются от испытания к испытанию, то обозначим все pi = p, а qi = q для всех значений i.

Рассмотрим несколько примеров: