Вопрос 1

Формулы комбинаторики

Группы, составленные из каких-либо предме­тов(безразлично каких, например, букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т. п.), называются соеди­нениями(комбинациями).

Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.

Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.

1.1. Размещения

Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит т элементов, взятых из числа дан­ных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Число размещений из пэлементов потв каж­дом обычно обозначается символомА_n^mи вычисля­ется по следующей формуле*:

* Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении — для числа сочетаний, опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.

1.2. Понятие факториала

Произведение пнатуральных чисел от 1 доnобо­значается сокращенноп!,т. е. 1·2·3·...·(n-1)·n=n! (читается:пфакториал). Например:

5!=1·2·3·4·5=120.

Считается, что 0! = 1.

Используя понятие факториала, формулу (1.1) можно представить так:

где 0 т n.

Очевидно, что А_n¹=п(приm = 1) иА_n⁰=n(при m=0).

Пример 1.Правление коммерческого банка вы­бирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шан­сы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение.В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как

группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:

N=А³₁₀=10·9·8=720

Ответ.Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.

1.3. Размещения с повторениями

Размещение с повторениями из nэлементов поm(mn) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 доmвключительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями изnэлементов поmэлементов мо­жет состоять не только из различных элементов, но изmкаких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Число размещений с повторениями из nэлемен­тов поmэлементов будем обозначать символомА_n^m_{(c повт.)} . Можно доказать, что оно равно n^m:

А_n^m_{(c повт.)} =n^m (1.3)

Пример 2.Изменим условие примера 1. Правле­ние коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на 3 различные должности. Предпо­ложим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат может занять не только одну, но и 2, и даже все 3различныевакантные должности. Сколько в данном случае возможно комбинаций замещения 3 вакантных должностей?

Решение.Как и в предыдущей задаче, комби­нации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов и заполняе­мыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос зада­чи необходимо рассчитать число размещений. Од­нако теперь вакантные должности могут замещать­ся одним и тем же претендентом, а значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторе­ниями.

По условию задачи п= 10,т= 3. Следователь­но,А_n^m=10³=1000.

Ответ.Можно составить 1000 комбинаций.