19. Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили распределения.

Определение. Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

            Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

            Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

 Определение. Медианой M_D случайной величины Х  называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

            Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

            Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k.

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины 

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

            Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

            Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

            Абсолютный начальный момент: .

            Абсолютный центральный момент: .

 Квантилем, отвечающий заданному уровню вероятности Р, называют такое значение  , при котором функция распределения  принимает значение, равное Р, т.е.  где Р— заданный уровень вероятности.

Другими словами квантиль есть такое значение случайной величины , при котором

Вероятность Р , задаваемая в процентах, дает название соответствующему квантилю, например , называется 40%-ым квантилем.

 

20. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых опытах.

Определение. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

 При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) =х₁р₁+х₂р₂+ … +х_пр_п . (7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногдавзвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины естьнеслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Свойства математического ожидания.

3. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С) =С. (7.2)

Доказательство. Если рассматривать Скак дискретную случайную величину, принимающую только одно значениеСс вероятностьюр= 1, тоМ(С) =С·1 =С.

4. Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М(СХ) =С М(Х). (7.3)

Доказательство. Если случайная величина Хзадана рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

то ряд распределения для СХимеет вид:

Сxi	Сx1	Сx2	…	Сxn
pi	p1	p2	…	pn

Тогда М(СХ) =Сх₁р₁+Сх₂р₂+ … +Сх_пр_п=С( х₁р₁+х₂р₂+ … +х_пр_п) =СМ(Х).

Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины называется

(7.13)

Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (опр. 7.5), а формула для ее вычисления имеет вид:

(7.14)

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле (7.12).

Замечание 2. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [a, b], то интегралы в формулах (7.13) и (7.14) вычисляются в этих пределах.

Теорема. Дисперсия числа появлений события  в  независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события  в одном испытании: .

Доказательство. Пусть  – число появлений события  в  независимых испытаниях. Оно равно сумме появлений события  в каждом испытании: . Так как испытания независимы, то и случайные величины  – независимы, поэтому .

Но , .

Как было показано выше, , а .

Тогда , а .

В этом случае, как уже упоминалось ранее, среднее квадратичное отклонение .