28. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Свойства ковариации и коэффициента корреляции.

Коэффициентом ковариации называется выражение:

cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)]=M[XY-XMY-YMX+MX•MY]=MXY-2MX•MY+MX•MY=MXY-MX•MY

Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется число:

X*=(X-MX)/σ_x  Y*=(Y-MY)/σ_y

D(X±Y)=M[X±Y-M(X±Y)]²=M[X±Y-MX∓MY]²=M[(X-MX)±(Y-MY)]²=M[(M-MX)²±2(X-MX)(Y-MY)+(Y-MY)²]=M(X_MX)²±2M(X-MX)(Y-MY)+M(Y-MY)²=DX±cov(XY)+DY

Следствие:

Если X и Y независимы, то коэффициент ковариации равен 0 и следовательно

D(X±Y)=DX±DY

Свойства коэффициента корреляции

1. -1≤p_xy≤1  2. Если |p_xy|=1, то с вероятность 1 X и Y связаны линейно.  То есть, если коэффициент корреляции |p_xy|=1, то результаты опыта лежат на прямой

В общем случае Y можно представить в виде

y=ax+b+z DZ=σ_y²(1-p_xy)²

Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b.

Свойства ковариации Править

• Ковариация симметрична:

.

• В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как

.

• Пусть  случайные величины, а  их две произвольные линейные комбинации. Тогда

.

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

• Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:

.

• Если  независимые случайные величины, то

.

Обратное, вообще говоря, неверно.

• Неравенство Коши — Буняковского:

.

29. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство и теория Чебышева

Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справед-ливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин.

Теорема 13.1(неравенство Чебышева). p(|X – M(X)| <ε) ≥D(X) /ε². (13.1)

Доказательство. Пусть Хзадается рядом распределения

Х	х1	х2	…	хп
р	р1	р2	…	рп

Так как события |X – M(X)| < ε и |X – M(X)| ≥ ε противоположны, тор( |X – M(X)| < ε ) + +р( |X – M(X)| ≥ ε ) = 1, следовательно,р( |X – M(X)| < ε ) = 1 -р( |X – M(X)| ≥ ε ). Найдемр( |X – M(X)| ≥ ε ).

D(X) = (x₁–M(X))²p₁+ (x₂–M(X))²p₂+ … + (x_n – M(X))²p_n .Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых |X – M(X)| < ε. При этом сумма может только уменьшиться, так как все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для определенности будем считать, что отброшены первыеk слагаемых. Тогда

D(X) ≥ (x_k+1–M(X))²p_k+1+ (x_k+2–M(X))²p_k+2+ … + (x_n – M(X))²p_n≥ε² (p_k+1 +p_k+2+ … +p_n).

Отметим, что p_k+1 +p_k+2+ … +p_nесть вероятность того, что |X – M(X)| ≥ ε, так как это сумма вероятностей всех возможных значенийХ, для которых это неравенство справедливо. Следовательно,D(X) ≥ε²р(|X – M(X)| ≥ ε), илир(|X – M(X)| ≥ ε) ≤D(X) /ε². Тогда вероятность противоположного событияp(|X – M(X)| <ε) ≥D(X) /ε², что и требо-валось доказать.

Теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема 13.2 (теорема Чебышева). ЕслиХ₁,Х₂,…,Х_п– попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены (D(X_i) ≤C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства

будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико.

Замечание. Иначе говоря, при выполнении этих условий

Доказательство. Рассмотрим новую случайную величину и найдем ее математическое ожидание. Используя свойства математического ожидания, получим, что. Применим кнеравенство Чебышева:Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то, учитывая условие теоремы, имеем:Используя этот результат, представим предыдущее неравенство в виде:

Перейдем к пределу при:Поскольку вероятность не может быть больше 1, можно утверждать, что

Теорема доказана.

Следствие.

Если Х₁,Х₂, …,Х_п– попарно независимые случайные величины с равномерно ограничен-ными дисперсиями, имеющие одинаковое математическое ожидание, равноеа, то для любого сколь угодно малого ε > 0 вероятность неравенствабудет как угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Иначе говоря,.

Вывод:среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин прини-мает значения, близкие к сумме их математических ожиданий, то есть утрачивает характер случайной величины. Например, если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем: а) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных, то есть все результаты представляют собой попарно независимые случайные величины; б) измерения производятся без систематических ошибок (их математические ожидания равны между собой и равны истинному значениюаизмеряемой величины); в) обеспечена определенная точность измерений, следовательно, дисперсии рассматривае-мых случайных величин равномерно ограничены; то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Теоремы Маркова и Бернулли.