Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка

Теорема 5.

Общее количество выборок в схеме выбора  элементов из  с возвращением и без учета порядка определяется формулой

4. Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

 Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию  А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни  один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

  

 Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

  

4. Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация.

 Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А или события В или их вместе.

 

хотя бы одно из событий А или В. С=А+В Геометрическая интерпретация

u– множество исходов некоторого опыта.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении события А и В. С=А*В

Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А и не появлении события В С=А\В.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. . А+=U A*=V–невозможно.

4. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей.

Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

р (АВ) =р (А) ·р (В/А). (2.6)

Доказательство.

Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считатьт_А (так какАпроизошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли иА, иВ(т_АВ ). Следовательно,

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность событияВА, совпадающего с событиемАВ, то получим, чтор (ВА) =р (В) ·р (А/В). Следовательно,

р (А) ·р (В/А) =р (В) ·р (А/В). (2.7)

Событие Вназываетсянезависимым от событияА, если появление событияАне изменяет вероятностиВ, то естьр (В/А) =р(В).

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми.

Если событие Вне зависит отА, то иАне зависит отВ. Действительно, из (2.7) следует при этом, чтор (А) ·р (В) =р (В) ·р (А/В), откудар (А/В) =р (А). Значит,свойство независимости событий взаимно.

Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

р (АВ) =р (А) ·р (В) , (2.8)

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей.

При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.