8.Формула полной вероятности.

Определение 3.1. Пусть событиеАможет произойти только совместно с одним из событийН₁,Н₂,…,Н_п, образующих полную группу несовместных событий. Тогда событияН₁,Н₂,…,Н_п называютсягипотезами.

Теорема 3.1.Вероятность событияА, наступающего совместно с гипотезамиН₁,Н₂,…,Н_п, равна:

(3.1)

где p(H_i) – вероятностьi- й гипотезы, а p(A/H_i) – вероятность событияАпри условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит названиеформулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие Асуммой попарно несовместных событийАН₁,АН₂,…,АН_п. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что

что и требовалось доказать.

9. Формула Бейеса.

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то естьр(Н₃/А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используетсяформула Байеса:

(3.2)

Действительно, из (2.7) получим, что откуда следует справедливость формулы (3.2).

10. Формула (схема) Бернулли.

Рассмотрим серию из писпытаний, в каждом из которых событиеАпоявляется с одной и той же вероятностьюр, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называетсясхемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событиеАпроизойдет ровнокраз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, чтоАпроизошло в некоторыхкиспытаниях и не произошло в остальныхп – киспытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний изппок, то есть, а вероятность каждого из них:p^kq^n-k, гдеq = 1 –p – вероятность того, что в данном опытеАне произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получимформулу Бернулли:

. (3.3)

11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Формула Пуассона и условия её применимости.

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления Ав одном опыте мала, а произведениепр = λсохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появле-ний событияАв разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:

Найдем предел полученного выражения при

Таким образом, формула Пуассона

(3.4)

позволяет найти вероятность кпоявлений событияАдля массовых (пвелико) и редких (рмало) событий.

Предельные теоремы

Предельные теоремы для схем Бернулли

Так как число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде:

(1)

где  - независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение , а именно:

,

где  - вероятность успеха в единичном испытании.

Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности при больших значениях .

Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов  и необходимости возводить числа  и  в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.