1.3. Числовые характеристики св

Числовыми характеристиками СВ называют числа, которые описывают СВ суммарно. К таким числовым характеристикам относится математическое ожидание. Оно характеризует среднее ожидаемое значение СВ, т.е. приблизительно равно его среднему значению. Для решения многих задач достаточно знать МО (например, при оценивании покупательной способности населения достаточно знать средний доход).

Математическим ожиданием дискретной СВ называют сумму произведений всех возможных ее значений на их вероятности.

.

Если дискретная СВ принимает счетное множество всевозможных значений, то

Причем мат.ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Для непрерывной СВ: M(X) =.

Замечание. Мат.ожидание – неслучайная постоянная величина.

Пример 5. Найти мат.ожидание дискретной СВ Х, зная закон ее распределения:

Х	3	5	2
р	0,1	0,6	0,3

Решение. Искомое мат.ожидание М(Х) = 3∙0,1 + 5∙0,6 + 2∙0,3 = 3,9.

Мат.ожидание числа появления события в одном испытании равно вероятности этого события.

Мат.ожидание приближенно равно (тем больше, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.

Замечание. МО больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений СВ.

Свойства математического ожидания:

1. Мат.ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: М(СХ) = СМ(Х).

3. МО суммы 2-х СВ равно сумме МО слагаемых: М(Х + Y) = M(X) + M(Y).

4. МО произведения двух независимых СВ равно произведению их МО:

М(ХY) = M(X)M(Y).

Зная только МО СВ нельзя судить ни о том, какие значения принимает СВ, ни о том, как эти значения рассеяны вокруг мат.ожидания. Т.е. МО полностью не характеризует СВ. Поэтому наряду с мат.ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Например, чтобы оценить, как рассеяны величины вокруг МО, используют дисперсию.

Дисперсией СВ называют мат.ожидание квадрата отклонения СВ от ее МО:

.

При этом для дискретной СВ:

Для непрерывной СВ: .

Замечание. Дисперсия СВ – неслучайная постоянная величина.

Пример 6. Найти дисперсию СВ Х, которая задана законом распределения:

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем МО: М(Х) = 1∙0,3 + 2∙0,5 + 5∙0,2 = 2,3.

Затем найдем возможные значения квадрата отклонения:

[х₁ – M(X)]² = (1 – 2,3)² = 1,69; [х₂ – M(X)]² = (2 – 2,3)² = 0,09;

[х₃ – M(X)]² = (5 – 2,3)² = 7,29.

Тогда, D(X) = 1,69∙0,3 + 0,09∙0,5+ 7,29∙0,2 = 2,01.

2 способ. М(Х) = 2,3. Вычислим M(X²) = .

Искомая дисперсия равна D(X) = 7,3 – (2,3)² = 7,3 – 5,29 = 2,01.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0: D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин: D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Следствие. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины: D(С + Х) = D(X).

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ.

Кроме дисперсии для оценки рассеяния СВ вокруг ее среднего значения служат и другие характеристики, например, среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением СВ Х называют квадратный корень из ее дисперсии: .

Размерность сред.квадр.отклонения совпадает с размерностью СВ.

Пример 6.

Решение. D(X) = 2,01 => .

Чтобы оценить разброс значений СВ в процентах относительно её среднего значения, вводится коэффициент вариации V(X), который рассчитывается по формуле:

.