5.3. Проверка предпосылок, лежащих в основе мнк

Следующим этапом оценивания качества уравнения является проверка выполнения предпосылок, лежащих в основе метода расчёта параметров МНК.

Предпосылками МНК являются:

1. случайный характер ошибок регрессии;

2. нулевая средняя величина ошибок регрессии, не зависящая от значения объясняющих переменных;

3. независимость распределения ошибок для различных наблюдений; в случае оценки уравнения на временных рядах – отсутствие автокорреляции ошибок;

4. постоянство дисперсии ошибок, её независимость от значений объясняющих переменных – гомоскедастичность (если эта предпосылка не выполняется, то имеет место гетероскедастичность ошибок);

5. нормальность распределения ошибок регрессии.

Для проверки выполнения каждой из предпосылок применения МНК имеются специальные тесты. Реализация многих из этих тестов предполагает значительный объём исходных данных.

Если распределение случайных ошибок не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

5.3.1. Проверка первой предпосылки мнк

Прежде всего, проверяется случайный характер остатков – первая предпосылка МНК. С этой целью стоится график зависимости остатковот теоретических значений результативного признака (рис. 1). Если на графике получена горизонтальная полоса, то остаткипредставляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значенияхорошо аппроксимируют фактические значения.

Рис. 1. Зависимость случайных остатков от теоретических значений.

Возможны следующие случаи, если зависит отто:

а остатки не случайны

б остатки не имеют постоянной дисперсии

в остатки носят систематический характер

Рис. 2. Зависимость случайных остатков от теоретических значений.

В этих случаях необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки не будут случайными величинами.

5.3.2. Проверка второй предпосылки мнк

Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что (или). Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных.

Вместе с тем, несмещенность оценок коэффициентов регрессии, полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин , что также исследуется в рамках соблюдения второй предпосылки МНК. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатковот теоретических значений результативного признакастроится график зависимости случайных остатковот факторов, включенных в регрессию(рис. 3).

Рис. .3. Зависимость величины остатков от величины фактора .

Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений . Если же график показывает наличие зависимостии, то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные. Возможно, что нарушена третья предпосылка МНК и дисперсия остатков не постоянна для каждого значения фактора. Может быть неправильна спецификация модели и в нее необходимо ввести дополнительные члены от, например. Скопление точек в определенных участках значений фактораговорит о наличии систематической погрешности модели.

Замечание. Предпосылка о нормальном распределении остатков (пятая предпосылка) позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью - и-критериев. Вместе с тем, оценки регрессии, найденные с применением МНК, обладают хорошими свойствами даже при отсутствии нормального распределения остатков, т.е. при нарушении пятой предпосылки МНК.

Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок.