5.3.4. Проверка гомоскедастичности дисперсии ошибок

В соответствии с четвёртой предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора остаткиимеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет местогетероскедастичность.

В качестве примера реальной гетероскедастичности можно привести то, что люди с большим доходом не только тратят в среднем больше, чем люди с меньшим доходом, но и разброс в их потреблении также больше, поскольку они имеют больше простора для распределения дохода.

Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (- графический метод обнаружения гетероскедастичности).

(а) – дисперсия остатков растет по мере увеличения ;

(б) – дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной и уменьшается при минимальных и максимальных значениях;

(в) – максимальная дисперсия остатков при малых значениях и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений.

Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно видеть и по рассмотренному выше графику зависимости остатков от теоретических значений результативного признака.

(а') Гетероскедастичность: большая дисперсия для больших значений(соответствует полю корреляции (а)).

(б') Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. б.

(в') Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. в.

Для множественной регрессии данный вид графиков является наиболее приемлемым визуальным способом изучения гомо- и гетероскедастичности.

При нарушении гомоскедастичности имеем неравенства: , где- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки. Т.е. можно записать, что дисперсия ошибки принаблюдении пропорциональна постоянной дисперсии:.

- коэффициент пропорциональности. Он меняется при переходе от одного значения фактора к другому.

Задача состоит в том, чтобы определить величину и внести поправку в исходные переменные. При этом используютобобщённый МНК, который эквивалентен обычному МНК, применённому к преобразованным данным.

Чтобы убедиться в обоснованности использования обобщённого МНК проводят эмпирическое подтверждение наличия гетероскедастичности.

При малом объёме выборки, что наиболее характерно для эмпирических исследований, для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда-Квандта (в 1965 г. они рассмотрели модель парной линейной регрессии, в которой дисперсия ошибок пропорциональна квадрату фактора).

Пусть рассматривается модель, в которой дисперсия пропорциональна квадрату фактора: , . А также остатки имеют нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Параметрический тест (критерий) Гольдфельда – Квандта:

1. Все n наблюдений в выборке упорядочиваются по величине x.

2. Вся упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки (объёмом k, С, k.)

.

Исключаются из рассмотрения С центральных наблюдений. (По рекомендациям специалистов, объём исключаемых данных С должен быть примерно равен четверти общего объёма выборки n, в частности, при n =20, С=4; при n =30, С = 8; при n =60, С=16).

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для последней подвыборки (k последних наблюдений).

4. Определяются остаточные суммы квадратов для первой и второйгрупп. Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениямx верно, то .

5. Выдвигается нулевая гипотеза которая предполагает отсутствие гетероскедастичности.

Для проверки этой гипотезы рассчитывается отношение , которое имеет распределение Фишера сстепеней свободы (здесьm – число объясняющих переменных).

Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется при уровне значимостиα.

Этот же тест может быть использован и при предположении об обратной пропорциональности между дисперсией и значениями объясняющей переменной . В этом случае статистика Фишера принимает вид: .

При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений .