Тема 5. Оценка качества полученного уравнения (верификация)

Расчёт значений параметров уравнения регрессии – лишь первый шаг на пути решения проблемы количественного оценивания зависимости одной переменной от другой (других) переменных.

Следующим этапом решения этой проблемы является оценка качества построенного уравнения, вынесения суждения относительно его отдельных параметров и степени пригодности в целом.

Анализ качества оценённой зависимости включает статистическую и содержательную составляющие. Проверка статистического качества состоит из следующих элементов:

1. Проверка общего качества.

2. Проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии и всего уравнения в целом.

3. Проверка предпосылок, лежащих в основе МНК.

Под содержательной составляющей анализа качества понимается рассмотрение экономического смысла оценённого уравнения регрессии: действительно ли значимыми оказались объясняющие факторы, важные с точки зрения теории; положительны или отрицательны коэффициенты, показывающие направление действия этих факторов; попали ли оценки коэффициентов регрессии в предполагаемые из теоретических соображений интервалы.

5.1. Оценка общего качества уравнения регрессии

Для анализа общего качества полученного уравнения регрессии на количественном уровне используют коэффициент детерминации . Он рассчитывается по формуле:

.

В числителе вычитаемой из единицы дроби стоит сумма квадратов отклонений (СКО) выборочных значений зависимой переменной от теоретических, найденных с помощью уравнения регрессии . В знаменателе – СКО наблюдений зависимой переменной от среднего значения.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объяснённой с помощью данного уравнения.

Замечание. В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента линейной корреляции.

Более точным является значение коэффициента детерминации с поправкой на число степеней свободы.

Разделив каждую СКО на свое число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или дисперсию на одну степень свободы:

–дисперсия, характеризующая общий разброс;

–остаточная дисперсия, где m – число независимых (объясняющих) переменных, в случае парной регрессии m =1 и формула имеет вид: .

Учитывая приведённые выше обозначения, формула коэффициента детерминации с поправкой на число степеней свободы будет иметь вид:

.

Значения коэффициента изменяются от 0 до +1 (в редких случаях значение может быть и отрицательным числом).

Близость коэффициента детерминации к +1 свидетельствует о том, что существует статистически значимая линейная связь между переменными, а уравнение имеет хорошее качество.

Близость к 0 говорит о том, что просто горизонтальная прямаяявляется лучшей по сравнению с найденной регрессионной прямой.

Самостоятельную важность коэффициент детерминации приобретает только в случае множественной регрессии.

5.2. Оценка существенности параметров линейной регрессии и всего уравнения в целом

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений (СКО) y от среднего значения раскладывается на две части – объясненную и необъясненную:

или, соответственно:

Объясненная

(факторная) СКО

+

Необъясненная (остаточная) СКО

(Общая СКО) =

Здесь возможны два крайних случая: когда общая СКО в точности равна остаточной и когда общая СКО равна факторной.

В первом случае фактор х не оказывает влияния на результат, вся дисперсия y обусловлена воздействием прочих факторов, линия регрессии параллельна оси Ох и уравнение должно иметь вид .

Во втором случае прочие факторы не влияют на результат, y связан с x функционально, и остаточная СКО равна нулю.

Однако на практике в правой части присутствуют оба слагаемых. Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации y приходится на объясненную вариацию. Если объясненная СКО будет больше остаточной СКО, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат y. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.

Число степеней свободы (df-degrees of freedom) – это число независимо варьируемых значений признака.

Для общей СКО требуется (n-1) независимых отклонений,

Факторная СКО имеет одну степень свободы, и

Таким образом, можем записать:

Из этого баланса определяем, что =n–2.

Разделив каждую СКО на свое число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или дисперсию на одну степень свободы:

- общая дисперсия, - факторная,- остаточная.