Тема 7. Прогнозирование

7.1. Оценка прогнозных качеств модели

Пример 1. Рассмотрим зависимость объёма реального частного потребления в США (С) от располагаемого дохода Y за 1971-1990 гг:

Со статической точки зрения данная зависимость приемлема по всем показателям.

Стандартная ошибка регрессии при среднем значении зависимой переменной, т.е. составляет около 1%.Отклонения от линии регрессии носят случайный характер, и их среднее значение остаётся приблизительно постоянным.

Отношение стандартной ошибки регрессии к среднему значению зависимой переменной называетсясредней относительной ошибкой прогноза, и может служить критерием прогнозных качеств оценённой регрессионноё модели. Если величина V мала и отсутствует автокорреляция ошибок (т.е. систематичность отклонений зависимой переменной от линии регрессии, проверяемая с помощью статистики Дарбина-Уотсона), то прогнозные качества модели высоки.

Если уравнение регрессии используется в прогнозировании, то величина V часто рассчитывается не для того периода, на котором было построено уравнение, а для некоторого следующего за ним «постпрогнозного» периода, для которого имеются наблюдения зависимой и объясняющих переменных.

И уже для последующего периода, если для него известны прогнозы значений объясняющих переменных, может быть построен прогноз объясняемой переменной.

Считается, что период прогнозирования должен быть по крайней мере в 3 раза короче, чем тот период, для которого было оценено уравнение регрессии.

Для примера, оценим функцию зависимости С от Y за период не 1971-1990гг, а 1971-1986 гг., а затем построим постпрогноз на период 1987-1990гг.

Уравнение регрессии также получается приемлемое по всем параметрам:

Оценим прогнозные качества модели, рассчитав среднюю относительную ошибку прогноза V. Поскольку для постпрогнозного периода число степеней свободы равно числу точек , стандартная ошибка прогноза за 1987-1990гг рассчитывается как. Относительная ошибка прогнозаили 0,96%. Если относительную ошибку прогноза оценить по расчётному периоду 1971-1986гг, то она окажется равнойили 0,90%, где.

Т.о. оценка прогнозных качеств уравнения регрессии даёт хороший результат (менее 1% ошибки) как на расчётном, так и на контрольном (постпрогнозном) периоде.

Для построения прогноза объёма потребления С на период после 1990г нужно оценить уравнение за 1971-1990 г. И подставить в него прогнозируемые значения величины располагаемого дохода Y.

7.2. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х. Такой прогноз называетсяточечным.

Он не является точным, поэтому дополняется расчетом стандартной ошибки . Стандартная ошибка предсказываемого среднего значения зависимой переменной при заданном значении :

Где - стандартная ошибка регрессии,- остаточная дисперсия.

Величинадостигает минимума прии возрастает по мере удаленияотв любом направлении.

Получаем интервальную оценку прогнозного значения :

Пример 2: Уравнение зависимости затрат на производство от объёма выпускаемой продукции по 7 предприятиям имеет вид: .

; ;,.

При точечный прогноз затрат на производство:

.

Для прогнозируемого значения 95%-ные доверительные интервалы при заданномопределены выражением:,

т.е. .

Т.о. прогноз линии регрессии лежит в интервале: .

Мы рассмотрели доверительные интервалы для среднего значения при заданном

Однако фактические значения варьируются около среднего значенияони могут отклоняться на величину случайной ошибки ε, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободыПоэтому ошибка прогноза отдельного значениядолжна включать не только стандартную ошибку, но и случайную ошибкуS. Таким образом, средняя ошибка прогноза индивидуального значения составит:

Для примера:

Доверительный интервал прогноза индивидуальных значений прис вероятностью 0,95 составит: или

Получился достаточно большой интервал, т.к. мало наблюдений.

Пусть в примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики затраты на производство 8 тыс. ед. продукции не превысят 250 млн. руб. Означает ли это изменение найденной закономерности или затраты соответствуют регрессионной модели?

Точечный прогноз:

Предполагаемое значение – 250. Средняя ошибка прогнозного индивидуального значения:

Сравним ее с предполагаемым снижением издержек производства, т.е. 250–288,93= –38,93:

Поскольку оценивается только значимость уменьшения затрат, то используется односторонний t- критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % с , поэтому предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого значения при 95 % – ном уровне доверия. Однако, если увеличить вероятность до 99%, при ошибке 1 % фактическое значениеt-критерия оказывается ниже табличного 3,365, и различие в затратах статистически не значимо, т.е. затраты соответствуют предложенной регрессионной модели.