1.2. Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые сначала не могут быть учтены.

Пример 2. Число родившихся детей в городе в течение суток – СВ, которая принимает значения 1, 2, 3, …

Пример 3. Прибыль фирмы – СВ. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z…, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z…

Различают следующие виды случайных величин:

Дискретная (прерывная) СВ – величина, которая принимает отдельные, изолированные числовые значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. (Пр.2)

Непрерывная случайная величина – СВ, которая может принимать любые числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной СВ бесконечно. (Пр. 3).

Для задания дискретной СВ недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной СВ называют соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически и графически.

При табличном задании первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

Т.к. в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события Х = х₁, Х = х₂,…, Х = х_n образуют полную группу. => Сумма вероятностей этих событий равна 1: .

Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример 4. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по 5 руб. Найти закон распределения СВ Х – стоимости возможного выигрыша владельца лотерейного билета.

Решение. Х – дискретная СВ. Ее возможные значения: х₁= 0, х₂ =5, х₃ = 50. Вероятности этих значений: р₁= 0,89, р₂ = 0,1, р₃ = 0,01. (проверка: 0,89 + 0,1 + 0,01 = 1)

Тогда закон распределения:

Х	0	5	50
р	0,89	0,1	0,01

Для наглядности закон распределения дискретной СВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i), а затем соединяют их отрезками. Полученная ломанная называется многоугольником или полигоном распределения.

Пр.4.

Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо плотностью вероятностей.

Функцией распределения СВ Х называют функцию , определяющую вероятность того, что СВ Х принимает значение, меньшее, чемх: .

Иногда эту функцию называют функцией накопленной вероятности или кумулятивной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ ≤ 1.

2. - неубывающая функция, т.е. .

3. .

4. .

5. .

6. Если возможные значения СВ Х принадлежат отрезку [a, b], то

График функции распределения даёт наглядное представление о вероятности изменения значений СВ.

Для примера функция распределения и её график имеют вид:

F(x) 1 0,99 0,89 0 5 50 x

Для непрерывной СВ нельзя определить вероятность того, что она принимает некоторое конкретное значение, а следовательно непрерывную СВ нельзя задать таблично. Поэтому для описания непрерывной СВ может быть использована функция распределения. При этом она является непрерывной неубывающей функцией, изменяющейся от 0 до 1.

Плотностью вероятности (плотностью распределения вероятностей) непрерывной СВ Х называют функцию .

Свойства плотности вероятности:

1. . 2.. 3.. 4..

Для непрерывной СВ справедливы равенства:

==.

Площадь под графиком кривой плотности вероятности равна единице.

Площадь заштрихованной области на рисунке равна: =.

Вероятность попадания значений СВ в «хвосты» распределения, т.е. в интервалы и, равна 1 –. Т.о. с помощью плотности вероятности можно определить вероятность попадания непрерывной СВ Х в заданный интервал, что имеет большое прикладное значение.